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Konvergenz (Heine-Borel, Kompaktheit)
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Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:00:03    Titel: Konvergenz (Heine-Borel, Kompaktheit)

Guten Abend zusammen!

Bei folgender Aufgabe habe ich ein paar Schwierigkeiten. Es wäre super wenn ihr mir helfen könntet:

Also:

Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann beschränkt ist, wenn jede ihrer Teilfolgen eine konvergente Teilfolge enthält.

Ich sag mal wie weit ich bisher gekommen bin:

Ich muss ja Äquivalenz zeigen.

Also bei der Hinrichtung habe ich folgendes gedacht: Aus der Vorlesung wissen wir dass JEDE Folge eine monotone Teilfolge besitzt. Also muss es doch auch zu jeder Teilfolge einer Folge eine monotone Teilfolge geben. Und die wäre ja in diesem Fall auch noch beschränkt. Und wenn eine Folge beschränkt und monoton ist, dann ist sie auch konvergent?

Kann man das so beweisen?? Muss das noch irgendwie formal aufschreiben.

Bei der Rückrichtung habe ich aber Probleme....hab da auch leider keine Ansätze.

Vielleicht wisst ja was.....

Danke schonmal

Estrahita
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:04:40    Titel:

Also: Deine Hinrichtung klingt SEHR gut!
Und das Aufschreiben, wird eine Indexschlacht Wink Bennene Deinen Folge
a_n, dann die Teilfolge a_n_k und die Teilfolge der Teilfoge a_n_k_l...

Und dann gerade so argumentieren wie Du es gemacht hast!

So, und nun die andere RIchtung, da muss ich auch einen Moment drüber nachdenken, Augenblick!
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:10:09    Titel:

OK, nun zu meiner Idee für die Rückrichtung:

Wir machen einen Widerspruchsbeweis:

Angenommen a_n wäre nicht beschränkt. Dann gibt es FOlgenglieder a_k mit |a_k|>k für jedes k in N. Diese a_k bilden eine Teilfolge.
Nach Voraussetzung hat diese eine konvergente Teilfolge a_k_l.
Aber es ist |a_k_l|>k_l. Also ist auch die Teilfolge UNBESCHRÄNKT und damit bestimmt divergent!=> Widerspruch!
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:19:54    Titel:

Also Moment mal ....so ganz verstehe ich das leider nicht!

Du nimmst zuerst an dass an nicht beschränkt wäre....das verstehe ich Very Happy

Aber dann: Du legst also eine Teilfolge fest, dessen Folgenglieder an immer größer sind als das n selber. .... Question Aber das ist ja nur eine von vielen Teilfolgen...

Mhmmm...fällt mir irgendwie schwer auszudrücken was ich nicht verstehen....

Vielleicht kannst du mir das nochmal erklären?
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:41:08    Titel:

Question
Crocker
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Anmeldungsdatum: 01.07.2005
Beiträge: 1127

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:43:45    Titel:

Apropos Konvergenz: Frag mal deinen Prof/ Lehrer ob er konvergent ist? Very Happy
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:47:54    Titel:

Gute Idee.... :

aber kannst du mir nicht vielleicht auch mit der Aufgabe helfen? Wink
Crocker
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 01.07.2005
Beiträge: 1127

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:48:47    Titel:

Estrahita hat folgendes geschrieben:
Gute Idee.... :

aber kannst du mir nicht vielleicht auch mit der Aufgabe helfen? Wink


Nö, da habe ich keine Ahnung! Sad
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 08:43:43    Titel:

Deine Voraussetzung sagt Dir, dass Du für ALLE Deine Teilfolgen eine Konvergente Teilfolge finden kannst.
Was ist mache, ist, zu zeigen, dass es unter Annahme, dass a_n unbeschränkt ist, MINDESTENS EINE Teilfolge gibt, die dieses Kriterium nicht erfüllt.
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