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Knobelaufgabe (Zahlen)
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 14:32:14    Titel: Knobelaufgabe (Zahlen)

Schreibt man die Zahlen von 1 bis 100 nebeneinander, so entsteht eine neue Zahl. Ist diese Zahl durch 3 teilbar?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 14:39:57    Titel:

Das müsste sich doch über die Quersumme prüfen lassen...

Sum(n=1 bis 100)n = 5050

Jetzt wieder die Quersumme --> 10

Und das ist nicht durch 3 teilbar...
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 14:44:03    Titel:

wild_and_cool hat folgendes geschrieben:

Sum(n=1 bis 100)n = 5050



Das ist nicht die Quersumme.
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 14:48:10    Titel:

Ok, mal wieder zu schnell gewesen und falsch gelesen...

Embarassed
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 15:23:51    Titel:

Also:
1 kommt von 1 bis 100 21mal vor
20 * 1 + 1
2 kommt von 1 bis 100 20 mal vor
20 * 2
3 kommt von 1 bis 100 20 mal vor
20 * 3
.
.
.
--> 20 * 1 + 20 * 2 + ... + 20 * 9 + 1 = 1 + 20 * Sum(n=1 bis 9)n = 901

Und das ist nicht durch 3 teilbar...
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 15:32:33    Titel:

wenn a durch 3 teilbar ist, dann ist q(a) die quersumme von a auch durch 3 teilbar.
weiterhin gilt
q(a+1)=q(a)+1 mod 3.
=>
q(a+2)=q(a)+2 mod 3 usw.

die quersumme der zahl 1234....99100 ist q(1)+q(2)+...q(100).
nach obiger feststellung ist das in päckchen sortiert:
[q(3)+q(6)+q(9)+...+q(96)+q(99)
+q(1)+q(2)
+q(4+q(5)
+q(7)+q(8)
...
+q(97)+q(98)
+q(100)] mod 3
=(0+0+0+...+0
+1+2
+1+2
...
+1+2
+1) mod 3
= 1 mod 3 => die zahl ist nicht durch 3 teilbar.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 09:40:09    Titel:

Ja, ihr habt beide recht.
Mein Weg ist so ähnlich wie yushoor's Weg.

Sei Q(n) die Quersumme einer Zahl solange gebildet bis sie einstellig ist.
Dann ist Q(n)=n mod 9.
Außerdem ist
Q(a+b)=Q(a)+Q(b) mod 9

(Die Abbildung Q ist also eine lineare Abbildung)

Wenn ich nun Zahlen zusammensetze kann ich das auch so machen:
Beispiel:

Die Zahlen 12 und 13 zusammengesetzt ist 1213 oder 12*10²+13, somit ist Q(1213)=Q(12+13)=7 mod 9.

Also ist Q(n)=Q(summe(i=1,100,i))=5050=1 mod 9.

Somit ist diese Zahl nicht durch 3 teilbar.
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