Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Vektorraum (lineare Abhängigkeit)
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Vektorraum (lineare Abhängigkeit)
 
Autor Nachricht
benne77
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 20:25:44    Titel: Vektorraum (lineare Abhängigkeit)

Hallo, ich hoffe mir kann jemand helfen! Ich sitze hier schon so lange vor der Aufgabe und weiß absolut nicht wie ich weiter machen soll!
Also hier die Aufgabe:

V sein ein Vektorraum über Q. Seien w,x,y,z el. V.

a) Zeigen sie: Die Vektoren v1=w+x+y+z, v2=2w+2x+y-z v3=w+x+3y-z, v4=-x+y-z, v5=w-y+x sind linear abhängig!

Ich habe mir dazu schon folgendes überlegt:

a*v1+b*v2+c*v3+d*v4+e*v5=0

a*(w+x+y+z)+b*(2w+2x+y-z)+c*(w+x+3y-z)+d*(-x+y-z)+e*(w-y+x)=0

aw+ax+ay+az+2bw+2bx+by-bz+cw+cx+3cy-cz-dx+dy-dz+ew-ey+ex=0

So und wenn ich nun diese Gleichung habe, was muss ich dann machen?
x,y,w,z ausklammern oder was?
Ich hoffe jemand kann das und hilft mir weiter! Vielen DAnk!
lg Benne
BBFan18
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 23:00:53    Titel:

dein vektorraum ist 4-dim. Also sind 5 vektoren stets lin. abhängig!
benne77
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 23:02:08    Titel:

warum ist mein Vektorraum 4-dim?
BBFan18
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 23:03:35    Titel:

weil nur w,x,y,z als variablen auftauchen
benne77
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 23:23:54    Titel:

und unter welcher Bedingung an w,x,y,z sind schon v1,...,v4 linear abhängig?
BBFan18
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 23:46:00    Titel:

Satz: Seinen a1,...,an Vektoren eines k-Vektorraums V und n eine natürliche Zahl. Dann ist äuquivalent:

(i) dim(K,V)=n
(ii) Es existiert in V ein linear unabhängiges System von n Vektoren, und jeweils n+1 Vektoren sind linear abhängig.

Beweis:

"=>"
JEde Basis von V bildet dann ein linear unabhängiges System bestehend aus n Vektoren. Ist andererseits y1,...,y(n+1) ein System von n+1 Vektoren aus V und nimm an, dass diese linear unabhängig ist, so kannst du mit Hilfe des Basisergänzungssatzes das System zu einer Basis von V ergänzen. Mann hätte dann dim(K,V)>=n+1 im wiederspruch zu (i).
"<="
Es gibt in V ein maximales unabhängiges Erzeugendensystem aus n Vektoren. Diese bilden eine Basis. Damit ist dim(K,V)=n

bidde sehr
benne77
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 23:58:09    Titel:

hey super danke schön! Aber da brauch ich jetzt noch einen Moment um das ganz genau zu verstehen! Vielen lieben Dank!
lg Benne
benne77
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 00:15:36    Titel:

und unter welcher Bedingung an w,x,y,z sind schon v1,...,v4 linear abhängig? Oder ist das da schon mit drin? Verstehe deinen Beweis nämlich noch nicht ganz!
BBFan18
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 00:41:20    Titel:

da du nur 4 variablen hast, ist dein Vektorraum 4-dim. (x,y,z,w) Mein Satz sagt dir, dass, wenn der Vektorraum 4-dim ist, ein system aus 4+1=5 vektoren schon linear abhängig ist!
yushoor
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 11:48:22    Titel:

etwas genauer:
über die dimension von V kannst du keine aussage machen! weil dazu steht nichts in der aufgabe.
aber, die vier vektoren w,x,y,z spannen natürlich einen untervektorraum von V auf (die lineare hülle von w,x,y,z). dieser hat maximal die dimension 4 (nämlich genau dann, wenn w,x,y,z lin. unabhängig sind).
die vektoren v1 bis v5 liegen alle in diesem untervektorraum, weil sie alle durch w,x,y,z linear erzeugt sind. => 5 vektoren in einem untervektorraum (wobei das "unter" nicht relevant ist), dessen dimension maximal 4 ist => v1 bis v5 müssen lin. abhängig sein.

als beispiel könnte zb V der R² sein mit
w=(0,1), x=(1,0), y=(1,1), z=(1,2).
dann ist die lineare hülle von w,x,y,z in diesem falle wieder ganz V. V hat dimension 2, deshalb sind 5 vektoren ganz bestimmt linear abhängig.

anderes beispiel. V ist ein unendlich-dimensionaler vektorraum, zb alle funktionen von [0,1]->R.
w=f:[0,1]->R; f(t)=1
x=g:[0,1]->R; g(t)=t
y=h:[0,1]->R; h(t)=sin(t)
z=i:[0,1]->R; i(t)=2+t

dann sind w,x,y lin. unabhängig, aber z ist lin. abhängig (nämlich gerade z=2w+x).
die dimension des UVR erzeugt von w,x,y,z ist also gleich 3.
auch hier sind 5 vektoren v1 bis v5 dann lin abhängig Smile
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Vektorraum (lineare Abhängigkeit)
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Seite 1 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum