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Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 20:43:53    Titel: Basen

Guten Abend zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge

B:= ((1,2,3,4),82,0,1,-1),(-1,0,0,1),(0,2,3,0)) eine Basis des R-Vektorraum R^4 ist.

Ich muss ja dann eigentlich zeigen, dass B linear unabhängig und das B Erzeugendessystem von R^4 ist.

Zu zeigen dass B linear unabhängig ist, war ja kein Problem.

Habe jetzt folgende Frage: Unser Prof meinte dass es unnötig viel Arbeit ist zu zeigen das B auch Erzeugendensystem von R^4 ist. Er meinte es gäbe einen Satz der es einfacher macht zu zeigen dass B eine Basis ist.

Ich finde den aber nirgends in meinen Mitschriften.

Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen??

danke

Estrahita
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 21:48:23    Titel:

Kann mir denn keiner helfen?!?! Question
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 21:55:59    Titel:

Versuche es mal hiermit:

Satz: Ein Vektorraum besitzt genau dann die Dimension n, wenn er n linear unabhängige Vektoren besitzt und je (n+1) Vektoren linear abhängig sind.
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 22:54:57    Titel:

Das ist eine gute Idee....also muss ich zeigen dass es maximal linear unabhängig ist.....

...aber jetzt stehe ich vorm nächsten Problem: wie mache ich das?
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 23:15:38    Titel:

der satz mit der dim. hilft dir nicht, da du nicht weisst(ohne entsprechenden satz), dass der VR 4-dim ist.
n Vektoren aus einem VR, die linear unabhängig sind, erzeugen einen n- dim VR. Das kannst du leicht beweisen und benutzen.
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 23:17:30    Titel:

Ich denke mal, dass Du beim R^4 vorraussetzen kannst, das er die Dimension 4 hat.
Also kann es im R^4 höchstens 4 linear unabhängige Vektoren geben. Das bedeutet aber auch, das jeweils 4 linear unabhängige Vektoren eine Basis des R^4 bilden.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2005 - 23:29:19    Titel:

oh R^4 hab ich nicht gesehen. ach ja den satz, denn du reingeschrieben hast, hab ich gestern bewiesen. bitte:

Satz: Seinen a1,...,an Vektoren eines k-Vektorraums V und n eine natürliche Zahl. Dann ist äuquivalent:

(i) dim(K,V)=n
(ii) Es existiert in V ein linear unabhängiges System von n Vektoren, und jeweils n+1 Vektoren sind linear abhängig.

Beweis:

"=>"
JEde Basis von V bildet dann ein linear unabhängiges System bestehend aus n Vektoren. Ist andererseits y1,...,y(n+1) ein System von n+1 Vektoren aus V und nimm an, dass diese linear unabhängig ist, so kannst du mit Hilfe des Basisergänzungssatzes das System zu einer Basis von V ergänzen. Mann hätte dann dim(K,V)>=n+1 im wiederspruch zu (i).
"<="
Es gibt in V ein maximales unabhängiges Erzeugendensystem aus n Vektoren. Diese bilden eine Basis. Damit ist dim(K,V)=n
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