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konvex,abgeschlossen,kompakt
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Loverboy22m
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Anmeldungsdatum: 31.08.2005
Beiträge: 7
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 00:18:53    Titel: konvex,abgeschlossen,kompakt

Ich brauche ganz dringend Hilfe bei folgenden Aufgaben.
Es seien n Element von N(nat.Zahlen) und K,L Teilmengen von R^n (R aus den reelen Zahlen).Wir betrachten im folgenden die Menge
K+L:= (x+y/x Element von K ,y Element von L)

a)Zeige,dass K+L konvex ist,falls K und L jeweils konvex sind
b)Zeige,dass aus der Abgeschlossenheit von K und L nicht folgt,dass K+L abgeschlossen ist.
c)Zeige ,dass K+L kompakt ist,falls K und L jeweils kompakt sind.

Shocked
Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 00:24:05    Titel:

Zitat:
b)Zeige,dass aus der Abgeschlossenheit von K und L nicht folgt,dass K+L abgeschlossen ist.
c)Zeige ,dass K+L kompakt ist,falls K und L jeweils kompakt sind.


hä bei b) zeigt man, dass abgeschlosssenheit von K,L nicht folgt, dass K+L abgeschlossen ist, und bei der c) soll man zeigen, dass kompaktheit von K,L kompakheit von K+L impliziert.
Aber kompakte Mengen sind abgeschlossen und beschränkt, falls der Raum normiert ist (ist der R^n ja). irgendwas stimmt da nicht!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 00:29:09    Titel:

Heißt es nicht (x+y)/x ?
Loverboy22m
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Anmeldungsdatum: 31.08.2005
Beiträge: 7
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 12:13:23    Titel:

ja, oder besser geschrieben (x+y ; x Element K und y Elementt L) dieses / sollte eigentlich ein waagrechter Strich sein
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 12:39:33    Titel:

Zitat:
ja, oder besser geschrieben (x+y ; x Element K und y Elementt L) dieses / sollte eigentlich ein waagrechter Strich sein


Du bist ein Scherzkeks Smile Gut, dass ich das nicht mit obiger Definition probiert habe.

a) Nimm Dir eine Gerade in K+L mit Anfangspunkt u und Endpunkt v. Die schaut dann so aus.

L(lambda) = u + lambda (v-u).

Zu zeigen ist dann, dass jeder Punkt u + lambda(v-u) in K+L liegt. Man wähle ein lambda in [0,1] und betrachte L(lambda). Da u,v in K+L liegen, gibt es eine Darstellung von u,v mit u = x+y und v = k+l. mit x,k in K und y,l in L.

u + lambda (v-u) =
x+y + lambda(x+y-(k+l)) =
x + lambda(x-k) + y + lambda(y-l).

Und das K,L konvexe Mengen sind, gilt

x + lambda(x-k) in K und
y + lambda(y-l) in L.

Somit liegt L(lambda) in K+L. qed
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