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Vektorraum
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Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 19:27:11    Titel: Vektorraum

Guten Abend zusammen,

hab mal wieder ein klitzekleine Frage:

meine Aufgabe ist:

Es sei V die Menge aller reellen Zahlenfolgen a=(a_1,a_2,a_3....).
Man erkläre kurz, auf welche Weise V ein R-Vektorraum ist und begründe warum dieser Vektorraum unendlichdimensional ist. Dann zeige man, dass

W:=(a Element von V|für alle n Element der natürlichen Zahlen gilt: a_n+2=a_n+a_n+1)

ein Untervektorraum von V ist, gebe eine Basis von W an und bestimme die Dimension von W.


Also, ich muss ja zuerst zeigen dass V ein Vektorraum ist. Reicht es auch zu zeigen, dass V ein Untervektorraum ist?? Das wäre ja viel einfacher. Ich verstehe nicht den Ausdruck "auf welche Weise". Dann muss ich ja zeigen, dass V unendlichdimensional ist. Das mache ich doch, indem ich zeige, dass es keine maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren gibt, oder?!?!Denn wenn wir doch nur die Folgen nehmen, die nur endlich viele Folgenglieder gleich null haben und kein Folgengliede welches negativ ist...dann ist doch die Menge dieser Folgen immer Linear unabhängig...egal wie viele. Ist das richtig??


Das W ein Untervektorraum ist habe ich gezeigt und ich habe auch eine Basis gefunden:

und zwar (1,0,1,2,3,5,8....) und (0,1,1,2,3,5,8...). Welche Dimension hat denn dann W. Man erhält ja die Dimension indem man die Elemente der Basis abzählt. Also wäre ja W 2-dimensional. Aber muss W nicht unendlich dimensional sein...aus dem gleichen Grund wie V??


Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 19:42:14    Titel:

du denkst du hast eine basis gefunden Smile
die stimmt leider nicht...

stelle mal die zahlenfolge
(1,1,2,.... )
mit deinen beiden basisvektoren dar.


wenn du zeigst, dass V ein untervektorraum ist, dann musst du auch sagen von was... ich sehe nichts, wovon er ein untervektorraum sein könnte Smile
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 19:51:57    Titel:

Wieso ist das keine Basis?? Man kann die Folge (1,1,2...) doch darstellen, indem man die beiden Vektoren der Basis einfach addiert.

Weißt du denn welche Dimension W dann hat?
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
Wohnort: Wuppertal

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 20:07:43    Titel:

dann wäre doch zb vektor 1 gleich vektor 3 oder vektor 1 gleich vektor 2
also wär das noch keine basis, denn die muss maximal linear unabhängig sein

stimmt doch?
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 20:28:23    Titel:

äh ja sorry, schlechtes beispiel gewählt...

ich meinte natürlich

(1,1,3,....)

aus der ersten 1 folgt nämlich, dass du deinen ersten basisvektor mit 1 malnehmen musst.
aus der 2ten 1 folgt, dass du den 2ten basisvektor mit 1 malnehmen musst.
und dann haut der 3te eintrag nicht mehr hin...
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 20:31:44    Titel:

Also irgendwie verstehe ich nicht was du geschrieben hast Very Happy

Die Basis die ich genannt habe ist doch ES von W oder? Die ist auch linear unabhängig, aber nicht maximal linear unabhängig, oder?!?!

Muss denn eine Basis immer maximal linear unabhängig sein?? denn dann hat ja W garkeine Basis, weil es doch garkeine maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren gibt, oder?!?!

Jetzt bin ich irgendwie ganz durcheinander Sad
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 23:22:09    Titel:

Aber (1,1,3....) ist doch kein Element von V. Also muss ich das doch auch nciht darstellen können.
Kann mir denn keiner mit der Dimension helfen?
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2005 - 23:30:54    Titel:

V sind doch alle zahlenfolgen. nur W ist was anderes?
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2005 - 00:42:04    Titel:

Aber ich soll doch eine Basis von W angeben....
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2005 - 02:30:54    Titel:

ahso sorry, das hab ich verpeilt Smile bin bei V hängengeblieben irgendwie.

also ein allgemeines element von W ist ja durch a_1 und a_2 vollständig bestimmt.

(a_1,a_2,a_1+a_2,a_1+2a_2,2a_1+3a_2,3a_1+5a_2.....)

und das ist natürlich gerade gleich
a_1*(1,0,1,1,2,3,5,8,...)+a_2*(0,1,1,2,3,5,8,...)

deshalb ist besteht die basis in der tat aus 2 elementen, nämlich (1,0,1,1,2,3,5,8,...) und (0,1,1,2,3,5,8,..), also fibonaccifolge, einmal ab folgeglied 3 und einmal ab 2.
die dimension von W ist dann auch 2, das stimmt schon, muß nich unendlich dimensional sein, nur weil V das ist.

zur frage, wie du zeigst, dass V unendlichdimensional ist...
betrachte einfach die folgen:
k_i=(0,...0,1,0,0,...) - an der i.ten stelle die 1.
davon gibt es unendlich viele, die sind alle linear unabhängig, folglich ist die dimension unendlich.
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