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Etwa Homomorphiesatz für Ringe?
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humboldt++
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 9
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2005 - 17:35:59    Titel: Etwa Homomorphiesatz für Ringe?

Halli hallo.
Hab da ne sehr schwierige Aufgabe, bei der ich echt nicht klar komme. Hab einiges ausprobiert und zwar versucht, den Homomorphiesatz für Ringe anzuwenden aber irgendwie komme ich gar nicht weiter. Wäre dankbar für Tipps.

Es sei A ungleich leere Menge und R:={f: A--->IR} die Menge der Funktionen von A nach IR. Durch die Operationen
(f+g)(x):=f(x)+g(x) und (f*g)(x):=f(x)*g(x) wird R zu einem kommutativen Ring mit 1.

a) Es sei a € A fixiert. Zeigen Sie, dass die Abbildung ev_a: R--->IR, also f|--->f(a) ein Ringhomomorphismus ist.

b) Beweisen Sie, dass die Menge b:={f € R | f(a)=0} ein Ideal in R ist und zeigen Sie, dass R/b=~R gilt.

c) Zeigen Sie: Wenn für ein Ideal c die Inklusionen b Teilmenge c Teilmenge R gelten, dann ist entweder c=b oder c=R.

Ich freue mich auch über kleine Tipps. Aber besonders über große Wink
humboldt++
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 9
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2005 - 18:23:19    Titel:

Kann mir niemand einen Tipp geben wie ich wenigstens eine teilaufgabe lösen kann? Crying or Very sad
yushoor
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2005 - 19:10:41    Titel:

ev_a(f+g)=(f+g)(a)=f(a)+g(a)=ev_a(f)+ev_a(g)

ist zb eine homomorphie-bedingung nachgerechnet.

oder zur b)
wieso ist das ein ideal?
zZ abgeschlossenheit der menge b bzgl +,- innerhalb der menge und abgeschlossenheit bzgl * mit elementen aus R.

zb wenn f,g € b => (f+g)(a)=f(a)+g(a)=0+0=0 => f+g € b.
einfach einsetzen nachrechnen...

oder zu c)
angenommen c ist echt größer als b, d.h. es existiert ein f in c, welches nicht in b ist. => f(a)=t <>0.
sei g aus R beliebig. jetzt musst du nur noch zeigen, dass g in c liegt.
1. fall: g(a)=0 => g € b => g € c.
2. fall: g(a)=s<>0
definiere h(x):=0 für alle x<>a und h(a):=s/t.
dann ist (f*h)(x)=f(x)*h(x) in c, und es gilt (f*h)(a)=s.
jetzt ist die funktion g'(x):=g(x) für alle x<>a und g'(x):=0 für x=a sicher aus b und deshalb sicher auch in c.

und schließlich ist g=(f*h+g') aus c, weil f und g' aus c sind und h aus R ist.

war jetzt evtl nicht ganz elegang der beweis, aber glaube stimmt Smile
humboldt++
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 9
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 12:19:08    Titel:

Bin dir sehr sehr dankbar.
Ich versuchs mal jetzt Very Happy
humboldt++
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 9
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 18:56:27    Titel:

ich bins wieder....

also die b) und c) ist wunderbar.
aber die erste haut irgendwie nicht hin....
humboldt++
Newbie
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 9
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 22:55:28    Titel:

hallo leute...

ich hab zwar für die a) tipps bekommen aber naja ich bin immer noch da wo ich war...hehe
kann mir jemand weiter tipps geben.

danke
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