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Beweisverfahren durch vollständige Induktion
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felinho
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Anmeldungsdatum: 10.11.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 17:30:28    Titel: Beweisverfahren durch vollständige Induktion

a) 1+2+3+...+n = 0,5*n *(n+1)

nun sollen wir das durch vollständige Induktion Beweißen.

So weit bin ich gekommen:

Induktionsanfang : n=1 ----------> 1 = 0,5*(1) *(1+1) = 1 | Stimmt.

Ind. Annahme: 1+2+3+...+K + K+1 = 0,5*(K+1)*(K+2)

so jetzt zum Beweiß :

des (1+2+3+....+K) kann ich ja durch 0,5*K*(K+1) ersetzen, also hab ich dann: 0,5*K*(K+1)+(K+1) und das muss jetzt 0,5*(K+1)*(K+2) werden,


wie komm ich dahin ? weil von der schule aus weiss ich das es erwiesen ist aber ich weiss nicht was ich auf der linken seite rechnen soll um auf das ergebniss von der rechten seite zu kommen. ?
GFvR
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Anmeldungsdatum: 05.10.2005
Beiträge: 214

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 17:57:50    Titel:

Ich weiß nicht, ob dieser Lösungsweg auch gilt...

Wenn n grade ist, dann kannst du immer die erste und letzte, die zweite und vorletzte usw. Zahl zusammenfassen. Damit erhälst du n/2 Paare mit dem jeweiligen Wert n+1. Also gilt: 0,5n*(n+1).

Wenn n jetzt ungerade ist, dann fasst du die Zahlen wieder zu diesen Paaren zusammen und erhältst diesmal aber n/2-0,5 Paare und die mittlere Zahl, die ein halbes Paar darstellt (denn die mittlere Zahl ist (n+1)/2). Also gilt auch hier 0,5n*(n+1)...
wirrkopf
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Anmeldungsdatum: 30.11.2005
Beiträge: 73
Wohnort: Altötting

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 18:18:36    Titel:

Versteh ich nicht!
Wenn man 0.5k(k+1)+(k+1)=0.5(k+1)(k+2) ausmultipliziert müsste doch 1=1 raus kommen! also passt!
Oder liegt das problem ganz wo anders?
iamwudu
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Anmeldungsdatum: 03.12.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 18:32:41    Titel:

Die Lösung durch vollständige Induktion:

Im Induktionschritt nimmst du an, dass deine Induktionsannahme stimmt, also:

n -> n+1

1+2+....+n+n+1= (1+2+3+...+4+n)+n+1 = (<- durch induktionsannahme) (n(n+1))/2 + (n+1)


jetzt n+1 auf den zähler bringen

(n(n+1)+2(n+1))/2 = (n^2 + n + 2n + 2) / 2 und siehe da, der Zähler ist genau ((n+1)(n+2))/2 qed

Es kann sehr hilfreich sein wenn man beim Lösen den Schrittes von beiden Richtungen versucht die Gleichung zu lösen.

Gruß
Flo
felinho
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Anmeldungsdatum: 10.11.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 18:54:52    Titel:

ah merci, jetzt dämmerts mit so langsam Very Happy
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