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Extremwert Aufgabe
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KasKOne1
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Anmeldungsdatum: 03.12.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2005 - 20:41:25    Titel: Extremwert Aufgabe

Aufgabe:

Minimaler Abstand gesucht -> Welcher Punkt P (Xr / Yr) der Normalparabel f(x) = x² hat die kleinste Entfernung vom Punkt Q (2 / 1/2) ?



Also hab an der Aufgabe ein bißchen angefangen, erstmal die Parabel gezeichnet P gekennzeichnet irgendwo in dem rechten teil der Parabel und Q gekennzeichnet im Punkt (2 / 1/2) und Q verbunden mit P ergibt eine Diagonale hab dann ein dreieck a wäre (yp - 1/2) und b wäre (2-xp) so dann habe ich den Satz des Pythagoras angewendet.

c² = a² + b²
c² = (yp - 1/2)² + (2 - xp)²
c² = yp² - yp + 1/4 + 4 - 4xp + xp²

so und dann komm ich nicht mehr weiter ich weiß ich muss die wurzel ziehen aber bin mir nicht so sicher.. am Montag muss ich die Aufgabe vortragen ... kann mir da jemand helfen ? Und jeden weiteren Schritt erklären ? wäre sau nett

DANKE IM VORAUS

(Bitte detailliert erklären bin eine echte 0 in Mathe) Smile
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 11:22:36    Titel:

Hallo KasKOne1,

dein Ansatz ist schon ganz richtig, nur hast du jetzt eine Funktion mit 2 Unbekannten. Diese beiden Unbekannten haben allerdings eine Beziehung zueinander: yp = xp²

Ausserdem noch ein Hinweis wegen der Wurzel. Wenn der Abstand (ist hier immer >= 0) minimal ist , dann ist auch das Quadrat des Abstandes minimal.

Du kannst dir somit die Wurzel sparen.

Wenn du yp durch xp² ersetzt hast, hast du eine Funktion c = f(xp). Von dieser Funktion brauchst du nur noch die Nullstelle zu suchen.

Damit solltest du erstmal weiterkommen. Wenn nicht, dann melde dich.

Gruß
Dirk
KasKOne1
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Anmeldungsdatum: 03.12.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 15:13:28    Titel:

Hallo Dirk, danke für dein Einsatz schätze ich sehr.

Was ich nicht versteh ist die Beziehung zwischen yp und xp² aber naja ich nehm an das ich richtig !

ich hab jetzt yp = xp² substituhiert

und bekomm das raus

= (xp²)² - x² + 17/4 - 4xp + xp²

c² = xp^4 - 4xp + 17/4

Du hast dann gesagt jetzt brauche ich davon die Wurzel nicht zu nehmen dann müsste ich aus

xp^4 - 4xp + 17/4 die Nullstellen herausbekommen aber wie mache ich daS ? Wenn ich die p/q formel anwenden würde dann müsste ich xp durch z substitueren und hätte

z² - Wurzel aus 4z + 17/4

das wäre mathematisch Falsch oder nicht ? Und wieso muss ich aus c² nicht die Wurzel nehmen es ist keine Quadratische Form im Abbild sondern eine Rechteckige.
KasKOne1
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Anmeldungsdatum: 03.12.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 15:25:38    Titel:

die p/q Formel sähe dann so aus

Wurzel aus 4z / 2 +/- Wurzel aus der Klammer - Wurzel aus 4 z / 2 - 17/4

oh mann wie soll ich da weiter rechnen ? Kann man die Wurzeln kürzen oder wie ?
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 16:01:14    Titel:

Hallo,

deine Funktion lautet:

f(x) = xp^4 - 4x + 17/4

Davon suchst du das Minimum also den x-wert bei dem der Abstand am kleinsten ist => 1.Ableitung bilden und nullstelle suchen.

f'(x) = 4x³ - 4
0 = 4x³-4 | /4
0 = x^3 - 1 | +1
1 = x^3 => x=1

Bei x=1 hat der Punkt (2; 1/2) den kleinsten Abstand zur Parabel.

Gruß
Dirk
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 16:10:07    Titel:

KasKOne1 hat folgendes geschrieben:

Was ich nicht versteh ist die Beziehung zwischen yp und xp² aber naja ich nehm an das ich richtig !


Deine Funktion ist eine Normalparabel also
f(x) = x².
Du solltst den Abstand zu einen Punkt (x1,y1) bestimmen also
Abstand = Wurzel( (x1-x)² + (y1-f(x))²)

Jetzt nochmal die Wert einsetzen: x1 = 2 und y1 = 1/2 und f(x) = x² =>

Abstand = Wurzel( x^4 - 4x + 17/4 )

Jetzt die Argumentation mit dem Quadrat.
Wenn der Abstand minimal ist, dann ist auch das Quadrat des Abstands minimal =>
Abstand² = x^4 - 4x + 17/4

Jetzt wie schon gezeigt 1. Ableitung bilden und Nullstelle bestimmen.

Gruß
Dirk
KasKOne1
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Anmeldungsdatum: 03.12.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 17:02:32    Titel:

Ohje danke Dirk !!! Ich weiß garnicht wie ich selbst drauf gekommen wäre... das war eine Transfer aufgabe wir haben sonst immer mit offensichtlich gegebenen Flächen gearbeitet ! Ich weiß garnicht wie ich dir danken kann werd die Lösung später aufschreiben und dann morgen mit deinen Informationen wiedergeben Smile danke und jetzt erstmal für Physik lernen morgen Big Klausur !

Danke nochmal Smile !!! Hatte schon die Hoffnung aufgegeben und mit 0 Punkte gerechnet... Danke dir du bist der beweis dafür dass es noch Loyalität und Einsatz auf diese Schreckliche Welt gibt ... würd so gerne ein Mathematisches Auge bekommen ...

danke Smile
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