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Integralberechnung, eine generelle Frage zur Rechnung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Integralberechnung, eine generelle Frage zur Rechnung
 
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Shizzow
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 143

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 11:11:41    Titel: Integralberechnung, eine generelle Frage zur Rechnung

Hallo!

Ich muss in Mathe eine Aufgabe rechnen, wo ich Z bestimmen muss. Und zwar hat man eine Parabel mit der Funktion f(x)=x² und eine Gerade mit der Funktion g(x)=2x . Auf der x-Achse bei dem Punkt Z setzt man gedanklich eine Senkrechte. Nun entstehen 2 Flächeninhalte (A1, A2). Die Frage ist, wie groß Z sein muss, damit A1 = A2 ist.

Ich kann euch leider keine Zeichnung geben, da ich nicht weiß, wie ich vernünftig so etwas auf dem Computer zeichnen soll. Ist auch nicht so schlimm, denn ich bin der Meinung, dass ich die Lösung schon habe. Ich habe eine allgemeine Integralberechnung gemacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

z² - 1/3z³ = 0

Ich möchte jetzt von euch wissen, ob diese Gleichnung wie ich sie aufgelöst habe, mathematisch korrekt aufgelöst ist. Also:

z² - 1/3z³ = 0 | -z²
-1/3z³ = -z² | X(-3)
z³ = 3z³ | :z²
z = 3


Vielen Dank im Vorraus für eure Antworten.
mfg Shizzow
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 11:41:39    Titel:

Hi,

z=3 kann eigentlich nicht richtig sein, weil sich die Parabel und die Gerade in (0|0) und in (2|4) schneiden, das z muss deshalb ein Wert sein, der auch in diesem Intervall liegt.

Zur Lösung kannst du zwei Integrale bilden:

INT[f(x) - g(x)]dx in den Grenzen von 0 bis z und INT[f(x) - g(x)]dx in den Grenzen von z bis 2, die du gleichsetzen kannst, weil die beiden Flächenteile gleich sind. Nach der Integration kannst du nach z = ??? auflösen!

Die Bestimmungsleichung für z wäre:

z³ - 3z² + 2 = 0 , die zugehörige Lösung ist: z = 1
Shizzow
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 143

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 11:57:08    Titel:

Erstmal danke für die Antwort.

Z=1 finde ich relativ unwahrscheinlich. Ich habe hier jetzt doch mal ein Bild von der Aufgabe gemacht, vielleicht ist es dann klarer. Also:



Und? Könnte die Lösung nun anders sein? Ich bin mir halt nicht so sicher.

Gruß Shizzow
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 12:19:57    Titel:

Ich denke das Problem daran ist, das nicht genau klar ist welche Flächen gemeint sind...

Ich mal mal ein paar Bildchen...

Kann aba ein bischen dauern...
Shizzow
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 143

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 12:26:32    Titel:

Naja es sind ja die grüne und die blaue Fläche gemeint (Also A1 und A2). Diese beiden Flächen müssen den selben Flächeninhalt haben. Und nun ist die Frage, wie dann dieser Punkt Z gewählt werden muss.

Ich freu mich auf deine Zeichnungen. Wink
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 12:34:17    Titel:

Hi nochmals,

falls der Punkt z auch außerhalb des Intervalls liegen darf (hatte ich vorher nicht angenommen), dann musst du die Bestimmungsleichung für z nochmals anschauen; für sie gibt es noch zwei weitere Lösungen:
z_2 = 1 - sqrt(3)
z_3 = 1 + sqrt(3)
Shizzow
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 143

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 12:37:16    Titel:

Darf man fragen was sqrt bedeutet?
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 12:40:05    Titel:

Natürlich darf man fragen: sqrt(a) = square root (a) = Wurzel aus a
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 12:52:28    Titel:

Also ich hab jetzt mal 3 Flächenmöglichkeiten angepinselt...








Und wenn man über den Schnittpunkt hinausgeht, sind noch mehr Kombinationen möglich !!!
Shizzow
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 143

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 13:17:26    Titel:

Das ist ja alles richtig wild, aber die Aufgabenskizze die wir bekommen haben sieht so aus:



Das heißt, der Punkt Z hat einen größeren Wert als der Schnittpunkt der beiden Funktionen.

Wir sollen jetzt also Z berechnen, damit A1 (grüne Fläche) = A2 (blaue Fläche) ist. Und ich bin der Meinung, dass Z = 3 ist. Bei interesse kann ich ja mal meine komplette Rechnung hinschreiben.

Gruß Shizzow
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