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Abbildungen von Mengen
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Mathe4y
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Anmeldungsdatum: 04.12.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 16:34:36    Titel: Abbildungen von Mengen

Hallo

Folgende Aufgabe:

Es sei f eine Abbildung f:A->B. Begründen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen oder geben sie ein konkretes Gegenbeispiel an


a) Wenn f injektiv ist, dann ist f auch bijektiv.

Antwort :wenn f injektiv,dann existiert zu B höchstens ein Urbild.

Wenn f bijektiv, dann existiert zu B genau ein Urbild.


Was ist gemeint mit dem Gegenbeispiel?
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 16:37:57    Titel:

Suche Dir eine beliebige Abbildung zwischen zwei beliebigen Mengen, die injektiv, aber nicht bijektiv ist.
Mathe4y
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Anmeldungsdatum: 04.12.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 16:42:59    Titel:

Ich dacht ich sollte ein Gegenbeispiel von beiden erstellen.
Warum soll ich jetzt eine injektive Abbildung hinschreiben, wenn ich ein Gegenbeispiel machen soll.
iamwudu
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Anmeldungsdatum: 03.12.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 16:47:04    Titel:

gegenbeispiel weil f NICHT automatisch bijektiv ist wenn es injektiv ist..

für bijektivität muss f injektiv und surjektiv sein!

gegenbeispiel

injektivität wird ereicht wenn jedem Wert x element A genau einem Wert y element B zugeordnet wird.

bei surjektivität muss jedes y element B einmal als Funktionswert vorkommen..
Mengenbildlich könnte ein Gegenbeispiel so aussehen:

A___B
o -> o
o -> o
o -> o
o -> o
o -> o
o -> o
o -> o
____o
____o
Mathe4y
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Anmeldungsdatum: 04.12.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 16:52:34    Titel:

Also soll ich eine injektive Abbildung hinschreiben und dies ist das Gegenbeispiel?!
iamwudu
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Anmeldungsdatum: 03.12.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 17:00:37    Titel:

Es geht doch um folgende aussage:

wenn f injektiv ist, dann ist f auch bijektiv

wenn du jetzt eine abbildung angibst die injektiv, aber eben NICHT automatisch bijektiv ist (siehe beispiel oben), ist das doch ein gegenbeispiel, oder??
Mathe4y
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Anmeldungsdatum: 04.12.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 17:05:34    Titel:

iamwudu hat folgendes geschrieben:
Es geht doch um folgende aussage:

wenn f injektiv ist, dann ist f auch bijektiv

wenn du jetzt eine abbildung angibst die injektiv, aber eben NICHT automatisch bijektiv ist (siehe beispiel oben), ist das doch ein gegenbeispiel, oder??




Stimmt Sorry Eine bißchen durcheinander heut!

Danke schön
Mathe4y
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Anmeldungsdatum: 04.12.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 18:04:42    Titel:

b)Wenn f nicht injektiv ist, dann ist f auch nicht bijektiv.

soll ich dann eine surjektive Zeichnung machen als gegenbeispiel?
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2005 - 18:30:20    Titel:

Diese Aussage bei b) steht bereits im Widerspruch zur gängigen Definition von Bijektivität, daher braucht man hier gar kein Gegenbeispiel, sondern nur auf den Verweis auf die Definition.
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