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Funktionsuntersuchung
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VincentK
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Anmeldungsdatum: 05.12.2005
Beiträge: 46

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2005 - 20:10:13    Titel: Funktionsuntersuchung

Hallo!

Wäre nett, wenn ihr mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen könntet:


Bestimmen Sie die Punkte P des Graphen so, dass die Tangente in P durch den Ursprung geht. Überprüfen Sie das Ergebnis am Graphen von f.
f(x) = x² - 4x + 9

Der bisherige Lösungsansatz:
y = m x m = y/x f' = 2 x - 4 = m

Also:
y/x = 2 x - 4 | *x y = 2 x^4 - 4 x


-------------------

Aber wie weiter? Danke schon mal!
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2005 - 20:32:48    Titel:

Hi,
zur Lösung:

bildest du die Ableitung von f(x)
f'(x) = 2x - 4 dies ist die Steigung an der Stelle P(x_p|f(x_p))

da g(x) durch den Ursprung geht ist g(x) = m*x mit dem oben berechneten festen aber unbekannten m,

da die Tangente in P anliegt, ist dort f(x) = g(x)
deshalb gleichsetzen: (2x - 4)*x = x² - 4x +9
diese Gleichung für x auflösen (vermutlich zwei Möglichkeiten, da zwei Tangenten an f(x) denkbar !!)

dann wieder das unbekannte m = 2x - 4 berechnen, wenn x bestimmt ist ==> ergibt die Gleichung der Geraden g(x)

(Hinweis: eine Lösung für x = 3; andere Lösung für x = -3)


Zuletzt bearbeitet von aldebaran am 05 Dez 2005 - 20:46:25, insgesamt einmal bearbeitet
malo
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Anmeldungsdatum: 05.12.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2005 - 20:43:02    Titel:

Also erste Ableitung ist schon richtig; m=2x-4 dementsprechend auch.

Jetzt fährst du mit dem Wissen fort, dass sie, wenn die Tagente durch den Ursprung verläuft, einen Punkt (0;0) hat. Das setzt du jetzt in die Tangentengleichung ein:

t(x) = mx+n
0 = m*0 + n

Du kommst so auf n=0. Deshalb ist deine Tangentengleichung t(x)=mx+n=(2x-4)x+0=2x^2-4x.

Und weil sie ja (einen) gemeinsame(n) Punkt mit f(x) haben soll, setzt du die beiden Gleichungen einfach gleich:

2x^2-4x = f(x) = x^2-4x+9
x^2 = 9
x1 = 3
x2 = -3

So. Jetzt musst du die Werte nochmal in deine Funktionsgleichung einsetzten und prüfst, ob sie auch Punkte der Tangente sind.

(1) f(x) = 3^2-4*3+9 = 6
--> t(x) = 2*3^2-4*3 = 6 --> ja!!!
--> t(x) = (2x-4)x = 2x (für x=3)
--> schneidet Graphen in P(3;6)
(2) f(x) = (-3)^2-4*(-3)+9 = 30
--> t(x) = 2*(-3)^2+4*3 = 30 --> ja!!!
--> t(x) = (2x-4)x = -10x (für x=-3)
--> schneidet Graphen in P(-3;30)

es müsste also zwei Tangenten geben, für die die bedingungen zutreffen

Bin mir grad nicht sicher, obs stimmt. ich kenne diese tangentenprobleme auch erst seit kurzer zeit, aber vielleicht konnte ich ja helfen, auch wenns nicht ganz richtig ist

cu, malo
VincentK
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Anmeldungsdatum: 05.12.2005
Beiträge: 46

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2005 - 22:37:15    Titel:

Na, das ging ja schnell! Danke für die schnellen, freundlichen und hilfreichen Antworten!

Ich seh jetzt erst, dass in meinem Beitrag mehrere nacheinander eingegebene Leerzeichen auf ein einziges gekürzt wurden, was die Gleichungen wohl etwas schwierig zu lesen macht. Sorry dafür.

Also danke nochmal, schönen Abend noch!

Grüße
Vincent
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