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Knobelaufgabe (Uni)
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 12:37:00    Titel: Knobelaufgabe (Uni)

Gegeben ist der R-Vektorraum V={0}, also der Nullraum.

Sei f: V->V ein Isomorphismus mit f(0)=0.

Wie ist die Determinante von f?
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 13:33:17    Titel:

hmmm...

isomorphismus => bijektiv. also existiert zu jedem v aus V ein anderes w aus V zu. Da V aber nur die 0 enthält muss f die 0 auf sich abbilden (tut es ja). Also hast du schon alle möglichen Fälle betrachtet, so dass f die Identität auf dem Nullraum ist. => det (f)=1
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 13:40:19    Titel:

irgendwas stört mich daran
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 13:54:27    Titel:

Ich kann aber schonmal sagen, dass deine Antwort richtig ist.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 14:32:41    Titel:

Die Frage ist total falsch gestellt Smile Ein Isomorphismus hat gar keine Determinante. Eine Determinante ist eine Matrixeigenschaft von quadratischen Matrizen. Die Frage erübrigt sich aber aus einem einfachen Grund: V = {0} hat keine Basisvektoren. Daher kann man auch keine Darstellung von f bezüglich der Basen bilden. Also gibt es auch keine Determinante von ihr.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 15:15:29    Titel:

isomorphie von einelementigen mengen ist auch irgendwie unsinnig. homomorphie hat etwas mit struktur-erhaltung zu tun. ein-elementige mengen haben gar keine struktur.
für die definition der determinante braucht man aber eine lineare abbildung/matrix - die hast du hier nicht. du könntest zwar sagen:
f(v)=0*v (was natürlich erfüllt, dass 0 -> 0 abgebildet wird) oder f(v)=pi*v, was das auch erfüllt... dementsprechend wäre die determinante 0 oder pi. ist also nicht eindeutig und macht eh kein sinn davon zu reden imho Smile formal würde ich sagen, ist die determinante durch deine angaben allein nicht eindeutig bestimmt.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 15:57:38    Titel:

Wir hatten das Thema heute in der LA Übung.

Es ist klar, dass V={0} keine Basisvektoren hat, da dim(V)=0.

Eine Determinante ist so definiert:

Sei A: V^k -> K

(1) det ist linear in allen Zeilen
(2) det A=0 falls 2 Zeilen von A linear Abhängig sind
(3) det E=1

wobei A eine lineare Abbildung ist.

Zitat:

f(v)=0*v (was natürlich erfüllt, dass 0 -> 0 abgebildet wird) oder f(v)=pi*v

Das ist kein gutes Argument, da der Vektorraum keine Basis hat.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:03:54    Titel:

was hat ein isomorphismus mit einer basis zu tun?
ich hab einfach einen isomorphismus hingeschrieben.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:08:07    Titel:

Zitat:
Eine Determinante ist so definiert:

Sei A: V^k -> K

(1) det ist linear in allen Zeilen
(2) det A=0 falls 2 Zeilen von A linear Abhängig sind
(3) det E=1

wobei A eine lineare Abbildung ist.


Man sollte demjenigen, der diese Definition verbrochen hat, die Hoden abschneiden, glaube ich.

f(x) = 3*x.

Determinante ist =

f(x) = x

Determinante ist =

Warum kann man das nicht beantworten? Na warum wohl Smile
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:09:21    Titel:

Eine lineare Abbildung ist das schon, da

f(k*0)=k*f(0)=k*0=0
f(v+v)=f(v)+f(v)=0+0=0, da diese Abbildung bijektiv ist, ist sie auch ein Isomorphismus. Die Determinante einer Abbildung ist aber genau dann Null wenn sie kein Isomorphismus ist.

@yushoor
Ich dacht du hast die Abbildung über eine Basis definiert.
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