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Knobelaufgabe (Uni)
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 15:58:07    Titel:

Zitat:
Ok, da müsste es denn heissen: linear in jeder Komponente.


Ne. Das hilft immer noch nicht. Nenn mir mal ein Paar "Komponenten" von einer linearen Abbildung zwischen Polynomenvektorräumen. Das geht so einfach nicht Smile

P.S: Wenn die Diskussion für Dich unangenehm ist, müssen wir sie nicht weiterführen. Ich will ja nur einerseits ein wenig mehr über eure Determinante erfahren und andererseits vielleicht Unklarheiten beseitigen, falls ich oder Du welche haben Smile
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:07:08    Titel:

Ich glaube nicht, dass irgendwie Unklarheiten sind. Wir haben nur eine andere herangehensweise. Dies habe ich schon bemerkt wenn ich mir einige Skripte über LA durchlese.

Eine lineare Abbildung:
Wir nehmen als Vektorraum den Raum V=<1,x,x²>

die Identität und die Nullabbildung ist offensichtlich linear.

Sei nun f: V-> V gegeben durch
f(1)=1+x²
f(x)=1+x
f(x²)=2*x+x²

Dann ist die Matrix der linearen Abbildung, bzgl. der Standartbasis:

F=

1 1 0
0 1 2
1 0 1

somit ist det(f)=3.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:14:11    Titel:

Zitat:
Dann ist die Matrix der linearen Abbildung, bzgl. der Standartbasis


Es gibt bei Polynomen keine Standardbasis. Das ist ein Irrtum. Nur, weil man die Monome gerne als Basis nimmt, ist das noch nicht eine Standardbasis. Deine Wahl ist also überhaupt nicht gerechtfertigt. Vielschlimmer noch: Vertausche ich in deiner geordneten "Standardbasis" die Vektoren, so kommt ein anderer Wert für dein Det raus. Probier mal.

Tatsache ist, dass in obiger Definition auf jeden Fall ein Fehler enthalten ist. Die Frage ist, wie man den berichtigen soll. Das interessiert mich jetzt.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:17:52    Titel:

Es ist dann ja

det(f)=det(1+x²,1+x,2x+x²)=3

det(1+x,1+x²,2x+x²)=-3
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:27:23    Titel:

Ja genau. Und zwar nicht umsonst: Bei Determinanten vertauscht sich das Vorzeichen, wenn man die Spalten der Matrix vertauscht. Und das Vertauschen der Spalten entspricht genau der der Basisvektoren in deiner geordneten Basis.

D.h. man muss auch noch die Ordnung der Basisvektoren fixieren, damit die Eindeutigkeit gegeben ist. Ich könnte mir vorstellen, dass es noch mehr lustige Parameter gibt.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:30:29    Titel:

Wiso ist damit denn die Eindeutigkeit nicht gegeben, wir sprechen doch über die Eindeutigkeit der Determinantenabbildung?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:34:02    Titel:

Du hast eine lineare Abbildung, der mehrere Werte von det(f) zugeordnet werden können. Ist das für Dich nicht mehrdeutig genug? Smile
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:36:03    Titel:

Dann sieht aber auch die Matrix dieser Abbildung anders aus.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:40:32    Titel:

Richtig. Und das ist genau der Grund, warum man Determinanten auf Matrizen definiert und nicht auf Abbildungen. Aber Du willst ja von Matrizen nichts wissen Smile
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 16:43:27    Titel:

Dann ist das aber such eine andere Abbildung. Und nicht mehr f.
Sondern:

f(1)=1+x
f(x)=1+x²
f(x²)=2*x+x² , anstatt

f(1)=1+x²
f(x)=1+x
f(x²)=2*x+x²
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