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Knobelaufgabe (Uni)
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 14:24:57    Titel:

Ich fasse nochmal zusammen:

Sei f :V->V ein Endomorphismus, wobei dim(V)=n ist.
Eine Abbildung det: V^n->K heisst Determinantenabbildung falls:

det(b(1),...,b(n))=1, wobei die b(1),...,b(n) eine ausgezeichnete Basis von V ist.

det ist linear in jeder Komponente.

det(v(1),...,v(n))=0, falls {v(1),...,v(n)} linear Abhängig sind.

Diese Abbildung ist wohldefiniert und eindeutig.
Man nennt
det(f[b(1)],...,f[b(n)]) die Determinante von f.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 14:32:53    Titel:

Das ist ok. Aber meiner Meinung nach ne total doofe Art die Determinante einzuführen.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 14:39:22    Titel:

Ja, aber jede sichtweise hat ihre Vor- und Nachteile, bei dieser definition lässt sich die Determinante schlechter ausrechnen.

Nach dem Zerlegungssatz für die Matrix (TAT^-1) ist die Determinante sogar von der Basis unabhängig.

Ich finde die Definition der Determinante von einer Matrix auch besser.
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
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BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 15:48:28    Titel:

die det hängt nicht von irgendwelchen basen ab, sofern man ihr einen wert auf irgendeiner basis zugeordnet hat.
beim basiswechsel multibliziert man nämlich (von rechts) mit der basiswechselmatrix und (von links) mit ihrer inversen. deren dets sind invers und heben sich somit auf.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 16:03:37    Titel:

Das tut der Gauss ja auch gerade. Ich finde es aber trotzdem doof, dass man eine Basis mitschleppen muss. Zusatzinformationen widersprechen dem Minimalitätsprinzip der Mathematik.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 18:14:02    Titel:

Sieht man eine Matrix als Vektorraumendomorphismus an muss man auch immer eine Basis mit sich "rumschleppen".
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 18:29:00    Titel:

Man braucht aber für sehr viele Anwendungen der Determinante eben keine Basis und keinen Endomorphismus
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 18:33:04    Titel:

Ich denke mal meistens wird intuitiv eine standard Basis genommen, z.B. beim lösen von linearen Gleichungssystemen. Kennst du ein Beispiel wo man auf die Basis verzichten kann?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 18:38:54    Titel:

Natürlich. Matrixinversion mit Determinanten. Das hat nix mit einer Basis zu tun.
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