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Schnittpunkt zwischen Geraden
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habeinefrage
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Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 197

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 17:43:11    Titel: Schnittpunkt zwischen Geraden

Hi,
gegeben sind die Funktionen f(x)=4-3e^(-x/2) und g(x)=e^(x/2)

Wie kann ich die Koordinaten der Schnittpunkte berechnen un wie den Schnitwinkel?

mein Ansatz:
4-3e^(-x/2)=e^(x/2)
wie kann ich jetzt auf x auflösen?

für welches a€R 0<a>ln9 schneiden die Kurven aus der Geraden x=a eine Strecke möglichst großer Länge??

kann mir das jemand erklären?
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
Wohnort: Wuppertal

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 22:28:10    Titel:

ln??
S1
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 349

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 22:31:38    Titel:

Also einer ist bei (0|1) Very Happy



MFG S1
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 22:48:59    Titel:

Verfasst am: 07 Dez 2005 - 16:43:11 Titel: Schnittpunkt zwischen Geraden

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Hi,
gegeben sind die Funktionen f(x)=4-3e^(-x/2) und g(x)=e^(x/2)

Wie kann ich die Koordinaten der Schnittpunkte berechnen un wie den Schnitwinkel?

mein Ansatz:
4-3e^(-x/2)=e^(x/2)
wie kann ich jetzt auf x auflösen?

Schnittpunkt:
4-3e^(-x/2)=e^(x/2); plus 3/e^(x/2) auf beiden Seiten
4=e^(x/2)+3/e^(x/2); gemeinsamer Nenner e^(x/2) auf der rechten Seite
4=[e^(x/2)*e^(x/2)+3]/e^(x/2)
4=[e^x + 3] / e^(x/2)
4 e^(x/2)=e^x + 3
0=e^x - 4 e^(x/2) + 3; Substitution: e^(x/2)=u <=> x=2ln(u) für u>0
0=u² - 4u + 3; faktorisiert (Alternative: Mitternachtsformel)
0= (u – 1)(u – 3) =>u1=1 und u2 =3
=> x1=2ln(1)=0 und x2=2ln(3)

Zum Schnittwinkel (sigma1) zwischen Gf und Gg in P1 mit x1=0 [d.h. der spitze Winkel (0°<winkel<90°), den die Tangenten an Gg und Gf in P1 bilden]:

f'(x)=1,5e^(-x/2)
g'(x)=0,5e^(x/2)

f'(0)=1,5=tan(alpha_f) => alpha_f=arctan(1,5)=56,31°
g'(0)=0,5=tan(alpha_g) => alpha_g=arctan(0,5)=26,56°

[wobei alpha:=Winkel zwischen Tangente und x-Achse]

{[Anmerkung (nicht wichtig zur Lösung des Problems): beta=90° - alpha für Tangentensteigung>0; beta=alpha – 90° für Tangentensteigung<0; wobei beta:=Winkel zwischen Tangente und y-Achse]}

Der Schnittwinkel sigma=alpha_f – alpha_g = 29,75°
[da alpha_f > alpha_g]

Zum Schnittwinkel (sigma2) zwischen Gf und Gg in P2 mit x2=0 [d.h. der spitze Winkel (0°<winkel<90°), den die Tangenten an Gg und Gf in P2 bilden]:

f'(x)=1,5e^(-x/2)
g'(x)=0,5e^(x/2)

f'(2ln(3))=0,5=tan(alpha_f) => alpha_f=arctan(0,5)=26,56°
g'(2ln(3))=1,5=tan(alpha_g) => alpha_g=arctan(1,5)=56,31°

[wobei alpha:=Winkel zwischen Tangente und x-Achse]


Der Schnittwinkel sigma2=alpha_g– alpha_f =29,75°
[da alpha_g > alpha_f]


für welches a€R 0<a>ln9 schneiden die Kurven aus der Geraden x=a eine Strecke möglichst großer Länge??

Ich vermute einfach mal du meinst 0<a<ln9, da 0<a>ln9 ja keinen wirklichen Sinn macht, denn man könnte ja gleich schreiben a>ln9.

kann mir das jemand erklären?

nicht mehr heute.....
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 23:04:06    Titel:

An der Zeichnung sieht man ja schön, dass wohl 0<a<ln(9) gemeint war...
ln9=2ln3..... und außerdem in etwa für welches a dann die Strecke max. wird..
Nennen wir das Geradenstück mal b.
b(x)=f(x) - g(x)
b'(x)=f'(x) - g'(x)=1,5e^(-x/2) - 0,5e^(x/2)
b'(x)=0=1,5e^(-x/2) - 0,5e^(x/2)
1,5e^(-x/2) = 0,5e^(x/2); auf beiden Seiten mal e^(x/2)
1,5=0,5e^x
x=ln3
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 23:05:11    Titel:

Jetzt aber gute Nacht........
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 23:20:39    Titel:

Ne, muss noch zeigen, dass es ein Max. ist.


b'(x)=1,5e^(-x/2) - 0,5e^(x/2)=(1,5 - 0,5e^x)/e^(x/2) [auf einem Nenner]
Nenner>0 für x E IR
Zähler> 0 für x<ln(3) und Zähler<0 für x>ln(3)
=>b'(x)>0 für x<ln3 und b'(x)<0 für x>ln3
=>Gb sms in ]0; ln3] (wegen Stetigkeit bzgl. b(x) an der Stelle x=ln(3) ist der Wert x=ln3 mit eingeschlossen)
Gb smf in [ln(3); ln(9)[

=>Max für x=ln3.
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