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Einheiten und Nullteiler in Zm
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mathelooser
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Anmeldungsdatum: 07.12.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 18:00:48    Titel: Einheiten und Nullteiler in Zm

Aufgabe:

Sei m aus den natürlichen Zahlen (N), mit m>=2. Wir bezeichnen mit N(Zm) die Menge aller Nullteiler von Zm. Zeigen sie, dass gilt:


(Zm )^x DURCHSCHNITT N(Zm) = LEERE MENGE

Und

Zm = (Zm )^x VEREINIGT MIT N(Zm).

d.h. Zm ist die disjunkte Vereinigung seiner Einheitengruppe mit der Menge der Nullteiler.


Den ersten Teil der Aufgabe
(Zm )^x DURCHSCHNITT N(Zm) = LEERE MENGE
konnte ich beweisen.

Leider kann ich den zweiten Teil nicht beweisen. Ich bitte um Hilfe.

Danke im Voraus.


[/img]
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 18:33:15    Titel:

Was ist (Z/m)^x?
mathelooser
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Anmeldungsdatum: 07.12.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 22:59:59    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Was ist (Z/m)^x?


damit meinte ich: Zm ist die Menge der Restklassen

Schreiben wir besser:

Zm Menge der Restklassen
Zmx ist die Teilmenge von Zm, die nur Einheiten als Elemente hat.
N(Zm) ist die Menge aller Nullteiler von Zm

Also, wie zeigt man, dass folgendes gilt?

Zm = Zmx vereinigt N(Zm)
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 04:58:36    Titel:

Zitat:
Zmx ist die Teilmenge von Zm, die nur Einheiten als Elemente hat.


Jetzt ist klar. Z/m^x ist die prime Restklassengruppe modulo m.

Du zeigst: z in Z/m ist genau dann invertierbar, wenn z kein Nullteiler ist. Die eine Richtung ist klar: Aus Nullteiler folgt nicht invertierbar, denn falls z * b = 0 für z ungleich 0 und b ungleich 0 und z zusätzlich invertierbar folgt

b = 1*b = z^(-1) z b = 0.

Widerspruch. Sei nun z nicht invertierbar. Dann ist d = ggt(z,m) <> 1 mit etwa m' d = m und z' d = z. Dann gilt d = r z + s m, weil Z ein Euklidischer Bereich ist. Dann gilt wegen m' <> 0

r m' z = d m' - s m m' = m (1 - s m') = 0.

Somit ist r m' ein Nullteiler und z auch.
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