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Knobelaufgabe (Zahlen vergleichen)
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 20:46:04    Titel: Knobelaufgabe (Zahlen vergleichen)

Man vergleiche die beiden Zahlen, der größe nach.

n!^n! und (n^n)!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 20:57:03    Titel:

Das zweite ist wohl mehr. Induktionsbeweis.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 10:21:03    Titel:

Mal ganz ehrlich, ich habe mir das ausgedacht ohne die Lösung zu wissen.
t0m84
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 10:52:28    Titel:

Is ja auch logisch! Da man erst n^n rechnet wird die fakulätä viel viel viel höher als bei n!*n!
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 11:25:55    Titel:

also
n!=n*(n-1)*(n-2)*...*[n/2]*...*2*1<n*n*...*[n/2]*n*n*...*n alle faktoren ausser der [n/2] ersetzt durch n. wenn n gerade, folgt sofort
=(n^n)/2.
wenn n ungerade, kann man [n/2] durch n/2 nach oben abschätzen und es stimmt auch ... <(n^n)/2.

ausserdem gilt
a!=a*(a-1)*(a-2)*...*[a/2]*...*2*1>(a/2)*(a/2)*...*(a/2)*[a/2]*...*2*1>(a/2)^(a/2)

mit den beiden ungleichungen folgt

n!^(n!)<((n^n)/2)^((n^n)/2) und mit a=n^n folgt
<(n^n)!
fertig Smile
ok evtl sind die größer-/kleinerzeichen manchmal für n oder a sehr klein nicht ganz korrekt, aber ab n=2 stimmt das.

1!^1!=1=(1^1)!

zeig mal, wie du es per induktion gemacht hättest, algebrafreak
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 13:43:43    Titel:

Da muß man geschickt abschätzen. Ich bin ehrlich gesagt ein wenig zu faul dazu Smile
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 15:38:37    Titel:

Der Beweis ist schön. Mit Induktion wäre es ziehmlich wüst das zu beweisen wegen den Ausdruck ((n+1)^(n+1))!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 16:13:46    Titel:

Zitat:
Der Beweis ist schön.


Das ist nur eine Beweisidee. In einem richtigem Beweis kommt * ... * nicht vor. Smile Ich habe das immer als Korrektor abgewertet. Wenn man schreibt

1 + 2 + ... + n

und damit rechnet, ist das meist eine Verschleierung eines Induktionsbeweises. Und wenn man das korrekt formulieren will, dann kommt vermutlich die besagte Induktion.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 16:17:30    Titel:

Also ich sehe nicht was an den Stellen verkehrt sein soll.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 16:28:29    Titel:

Wie gesagt, meistens verschleirt man dadurch Beweisteile.
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