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Kurvendiskussion - Euler'sche Zahl ableiten ?
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Phoenix_101
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2005 - 20:48:06    Titel: Kurvendiskussion - Euler'sche Zahl ableiten ?

Hi!
Folgendes Beispiel macht mir leider Probleme

bsp) gegeben sei die funktion f(x)= e^x (2e^x-2)

a)bestimmen sie definitionsbereich und nullstellen von f
so weit bin ich bis jetzt ---> 0 = e^x (2e^x-2)
0 = 2e^x - 2
2 = 2 e^x
1 = e^x ---> Ist das bis hierhin richtig?
Wie löse ich die Euler'sche Zahl generell auf?

b) lokale Minimal- und Maximalstellen von f?
--> Hierzu müsste ich ja die 1.ableitung bilden?? Wie leite e^x ab?

c) Die Wendestellen von f?
---> Hierzu bräuchte ich die 2.ableitung?? Kann ich allerdings nicht da ich auch die erste nicht kann Wink

d) wo ist f konvex bzw. konkav,
----> hat das auch etwas mit der 2.ableitung zu tun? ich glaube dass wenn 2.abl. < 0 , die funktion konvex ist und wenn sie >0 ist konkav ist
Stimmt das?

e) monton wachsend bzw. fallend?

hierzu müsste ich eigentlich e^x(2e^x-2) < e^x+1 (2e^x+1 - 2) und dann auflösen, wobei ich allerdings riesen probleme habe

Vielleicht kann mir ja jemand helfen? Ich weiss, dass man das hier nicht so gern tut aber vielleicht kann mir ja jemand das beispiel ( wenn möglich schritt für schritt und möglichst genau Wink ) vorrechnen?
Es ist wirklich nicht so das ich mich nicht damit auseinander gesetzt habe, aber ich kann das mit der euler'schen zahl einfach nicht. Embarassed
Ich hab echt noch haufenweise ähnlicher beispiele und ein muster würd mir dabei so sehr helfen! Also vielleicht ist ja jemand so nett

DANKE SCHÖN
Scraty
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Anmeldungsdatum: 08.11.2005
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 01:35:36    Titel:

Moin Phoenix_101

also die Ableitung von e^x ist e^x, ich nehme an das du das weißt.

Wenn du jetzt z.B. e^(2x) hast muss du einfach die Kettenregel anwenden.

Die besagt die äußere Ableitung mal die innere Ableitung
Äußer Abl. von e^u ist e^u wobei u=2x ist, was du hinterher wieder einsetzt. Also ist deine Äußere Abl. e^2x

Der innere Teil ist jetzt dein u(x) = 2x, diesen muss du noch ableiten.
Die Ableitung ist 2

Da innere Funktion mal äußere Funktion ist die komplette Ableitung 2*e^2x

In deinem Beispiel hast du halt eine ander innere Funktion, dürfte jetzt aber net mehr schwer werden, wobei du aber auch auf die Produktregel zurückgreifen musst

f(x) = (e^x) * (2e^x-2)
definiere ich g(x) = e^x
und h(x) = 2e^x-2
dann wäre
f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)

das heißt du bildest erst die Ableitungen von g und h und musst dann das ganze in die Formel einsetzen. (solltest du jetzt hinbekommen)


Bei der Nullstellenberechnung:
0 = e^x (2e^x-2) => 0 = 2* (e^x) * (e^x-2) => 0 = 2 * e^(x+x-2)

Siehe Potenzregeln bei gleicher Basis addieren sich die Exponenten
=> 0 = 2 * e^(2x-2) durch 2 dividieren
=> 0 = e^(2x-2) dann müsstest du den Logarithnus (ln) bilden, der aber bei Null net definiert ist. => Die Funktion hat keine Nullstellen.

Die Funktion e^x hat nie Nullstellen (zeichne die e-Funktion mal und deine gegebene Funktion. Eine Skizze hilft immer weiter)

Für die Extremwerte muss die die Ableitung einfach gleich Null setzen.

Bei den Wendestellen die 2. Ableitung gleich Null setzen


So das muss erstmal reichen

Gruß Scraty
Phoenix_101
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 16:19:14    Titel:

Hi!
Erstmal danke für die antwort! Leider liegt ein missverständnis vor ich meinte die funktion f(x)= e^x ((2e^x)-2) also nicht f(x)= e^x (2e^(x-2) )

Ich habe mittlerweile deinen Rat befolgend eine Werttabelle gemacht und eingesetzt hierbei kommt mir
für x= -2 --> -0,23
für x= -1 --> -0,46 das is zwar für die untersuchten werte die "minimumstelle" aber ich denke nicht dass es die tatsächliche ist
wie genau berrechnet man diese also?
für x= 0 --> 0 könnte das die Wendestelle sein da ab hier die werte positiv werden?
für x= 1 --> 9,34
für x=2 --> 94
Scraty
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Anmeldungsdatum: 08.11.2005
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2005 - 23:45:30    Titel:

moin

Hast du denn mal trotzdem die Ableitungen berechnet, und die 2.Ableitung gleich Nullgesetzt, dann müsstest du ein Ergebnis raus bekommen.

Wenn meine Berechnungen stimmen, müsste für die erste Ableitung
4*e^(2x) - 2*e^x
und für die zweite Ableitung
8*e^(2x) - 2*e^x
rauskommen.

Die 2. Ableitung gleich Null setzen ergibt dann ja deine Wendepunkte.
Die Lösungen kannst du dann mit deiner Skizze abgleichen, wenn sie weit daneben liegen kann die Skizze oder die Rechnung falsch sein.

wenn du 8*e^(2x) - 2*e^x = 0 => 8*e^(2x) = 2*e^x
=> 2x + ln8 = x + ln 2
=> x = ln 2 - ln 8
den x Wert in die Funktion einsetzen und du hast deinen y-Wert.

Ich hoffe das hilft weiter

Gruß Scraty
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