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Algebra: lineare Abbildungen
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Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 17:01:15    Titel: Algebra: lineare Abbildungen

Wer kann mir bei der folgenden Aufgabe einen Ansatz geben?
Man bestimme explizit alle linearen Abbildungen f: F2 hoch 2 abgebildet auf F2 hoch 2. Man überlege sich dazu zunächst, dass eine lineare Abbildung durch die Angabe der Bilder einer Basis eindeutig festgelegt ist.
Danke
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 18:11:21    Titel:

Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt, weil ja die Spaltenvektoren der zugehörigen Abbildungsmatrix gerade diese Bilder der Basisvektoren sind.
Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 18:46:03    Titel:

sorry, aber das sagt mir leider gar nichts...
Spaltenvektoren hatten wir auch noch gar nicht. Sad
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 22:33:12    Titel:

eine lin. abb. ist durch ihre werte auf einer basis festgelegt, da alle vektoren des VR sich als LInearkomb. der Basisvektoren darstellen lassen und für lin Abb. gilt: F(ax)=af(x) und f(x+y)=f(x)+f(y) für alle a aus K und x,y aus V.
schreib dir mal ne linearkomb. aus basisvektoren hin und wende f drauf an; du wirst sehen wie die strucktur erhaten wird!
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 22:41:55    Titel:

hallo rightaway, man kann nicht jede lin. abb. als matrix darstellen.

zum thema: du hast ja nur 4 elemente (0,0), (0,1), (1,0) und (1,1).
legst du fest, worauf (0,1) und (1,0) abgebildet werden (dürfen auch das selbe bild haben), ergibt sich der rest von alleine. musst halt alles durchprobieren.
Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 22:52:31    Titel:

also, ich habe jetzt erstmal angefangen die Einheitsvektoren /Basen hinzuschreiben, das sind ja hier (0,1) und (1,0), wenn ich jetzt die Abbildung dieser Basen aufschreiben will muss ich sie ja mit irgendetwas multiplizieren, aber mit was?
Mir ist außerdem diese Vektorraumbezeichnung nicht klar. F2 hoch 2. Was bedeutet das genau?
PS: vielen Dank für eure Antworten
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 23:02:07    Titel:

Hi Mia!

mit F2^2 ist das (vektorraum-)produkt des körpers mit 2 elementen mit sich selber gemeint. man hat 2 komponeneten (x,y), wobei x, y el. F2, die man komponentenweidse (vektor-)addiert und (skalar-)multipliziert.

das bild von (0,1) liegt in F2^2, es gibt also 4 möglichkeiten, kombiniert mit 4 mglk. für (1,0) also 16 insgesamt (=>schreibarbeit, geht aber trotzdem recht schnell).
Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 23:47:03    Titel:

vielen Dank! könntest du mir noch den Anfang sagen, wie das dann aussieht, also die Kombinationen meine ich. Das mit den Basisvektoren ist dann also richtig, oder?
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 00:51:24    Titel:

Delta Joe hat folgendes geschrieben:
hallo rightaway, man kann nicht jede lin. abb. als matrix darstellen.

Ich zitiere mal aus einem Lehrbuch zur LA:
"Zu jeder linearen Abbildung F: K^n -> K^m gibt es genau eine Matrix A in M(m x n; K), so dass
F(x) = A * x
für alle Spaltenvektoren x in K^n."
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 01:42:06    Titel:

stimmt, der beweis ist auch trivial, da du nur die bilder der basisvektoren spaltenweise anordnest. mehr ist das nicht!
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