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Fixpunkt
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Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 16:55:58    Titel: Fixpunkt

Hallihallo!!

In Analysis "machen" wir gerade Stetigkeit. Ich habe ein Problem mit den Fixpunkt. Ich verstehe irgendwie nicht was ein Fixpunkt ist...

Die Erklärung in meiner Mitschrift verstehe ich nicht....und beim "Heuser" verstehe ich es auch nicht!

Das wäre super wenn mir das mal einer erklären könnte!!

Danke

Estrahita
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 17:04:58    Titel:

Sei f eine Abbildung und x ein Element der Definitionsmenge von f. Dann ist x ein Fixpunkt von f genau dann, wenn gilt f(x) = x.
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 17:08:49    Titel:

Hi rightaway!

Also kann eine Funktion auch mehrere Fixpunkte haben, oder??! Aber es kann doch auch sein, dass f garkeinen Fixpunkt hat weil sich kein Element von der Definitionsmenge auf sich selber abbildet, oder?!?
derCauchy
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Anmeldungsdatum: 11.12.2005
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 17:11:44    Titel:

die funktion f: [0,1] -> [0,1] sei stetig.

zeige: f hat mind. einen fixpunkt in [0,1], d.h. es gibt ein c in [0,1] mit
f(c)=c.

beweis: f ist stetige funktion mit f([0,1]) teilmenge von [0,1]. sei nun
F definiert als F: [0,1]->[0,1] durch F(x) := f(x) - x

F(x) ist als summe von zwei stetigen funktionen wieder stetig

Aus f([0,1]) teilmenge von [0,1] folgt f(0) >= 0 und f(1) <= 0
daraus folgt F(0) = f(0) - 0 >= 0 und
F(1) = f(1) - 1 <= 0.

nach dem zwischenwertsatz gibt es ein c in [0,1] sodass
F(c) = 0 => f(c) = c

q.e.d.
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 17:14:56    Titel:

Die identische Abbildung von IR nach IR hat unendlich viele Fixpunkte, die Abbildung f(x) = x² + 1 hat gar keine.
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