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Stetigkeit
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Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 20:31:55    Titel: Stetigkeit

Hallo...

ich bins schon wieder!

Mache gerade folgende Aufgabe:

Sei f:[1,2]--->[1,2] definiert durch f(x):= (2*x+2)/(x+2). Zeigen Sie, dass f kontrahierend ist. Bestimmen sie alle Fixpunkte von f in [1,2]. Entscheiden Sie, ob die Funktion f stetig ist, und ob sie monoton wächst oder monoton fällt.

also, erstmal mein Ansatz:

um den fixpunkt zu erhalten habe ich folgende Gleichung gelöst:

(2*x+2)/(x+2)=x

Da kommt dann raus: x= +/- Wurzel von zwei. -Wurzel von zwei ist aber nicht in der Difinitionsmenge also gibt es nur einen Fixpunkt und zwar: x= Wurzel 2.

Bei der Monotonie habe ich folgendes gemacht:

Sei x_1 > x_2

(2*x_1+2)/(x_1+2) - (2*x_2+2)/(x_2+2)= 2*(x_1-x_2)/((x_1+2)(x_2+2))

Und das muss ja größer als null sein. Da x_1 größer als x_2 ist und X_1 und x_2 beide größer als null sind. Und somit ist es doch monoton steigend oder??

Ist das richtig was ich bisher gemacht habe? Das kommt mir alles so einfach vor! Smile

Weiß aber nicht so recht wie ich zeigen soll das es kontrahierend ist. Hoffe ihr könnt mir helfen!

Danke

Estrahita
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 21:03:29    Titel:

Ix_1-x_2I = I (2x_1+2-(2x_2+2)/2I > I (2x_1+2-(2x_2+2)/2xI (für x el. [1,2])

= If(x_1)-f(x_2)I
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 21:22:07    Titel:

hhmmm... Shocked

Das verstehe ich leider nicht so ganz....kannst du das vielleicht ein bissle erklären! Smile
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 21:36:36    Titel:

I ... I sind Betragstriche

ich zeige, dass die differenz der fktswerte kleiner ist als die diff. der eingestzten werte (<=>kontraktion)

vertsehst du eine der umformungen nicht? (welche?)
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 21:51:26    Titel:

O.k.....

Ist denn das was ich bisher gemacht habe richtig??
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 15:16:54    Titel:

ich verstehe leider doch nicht deine Erklärung zur Kontraktion!!

Eine Funktion ist doch kontrahierend wenn gilt:

|f(x)-f(y)| <= q*|x-y| , mit q <1

aber wo ist denn hier dein q???

Wäre super wenn mir das einer mit der Kontraktion nochmal erklären könnte

Estrahita
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 16:16:20    Titel:

a < b
<=>
esistiert c>0 mit a <= b-c
<=>
a<=q*b, mit q<1, nämlich q=(b-c)/b.
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 16:30:52    Titel:

Hallo Yushoor,

ich verstehe was du geschrieben hast, hab aber Probleme das auf meinen Fall anzuwenden.

Muss ja zeigen:

|f(x)-f(y)|<= q*|x-y|, mit q kleiner als 1

|f(x)-f(y)| habe ich aufgelöst und dann erhalte ich

(2*(x-y))/((x+2)*(y+2)) <= q*|x-y|

Wie zeigen ich denn jetzt in diesem fall dass das für q kleiner als 1 gilt.

Ich gerade voll auf dem Schlauch..... Crying or Very sad
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 16:47:44    Titel:

schau dir an, was deltajoe geschrieben hatte, oder such dir eine eigene abschätzung, die den zusammenhang zwischen x1, x2 und f(x1), f(x2) dann gibt. ich hab dsa oben nur geschrieben gehabt, weil du fragtest, wo man das q<1 herbekommt.
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 17:07:29    Titel:

Delta Joe hat folgendes geschrieben:
Ix_1-x_2I = I (2x_1+2-(2x_2+2)/2I > I (2x_1+2-(2x_2+2)/2xI (für x el. [1,2])

= If(x_1)-f(x_2)I



Sorry...aber ich verstehe es immer noch nicht. Erstmal verstehe ich ncith dass |f(x_1)-f(x_2)| das gleiche sein soll wie |(2x_1+2-(2x_2+2))/2x|.
Hab versucht das irgendwie nachzuvollziehen...Gleichungen umgechrieben, aufgelöst....aber ich verstehe diese gleichung immer noch nicht.

Dann verstehe ich seine Ungleichung nicht. x el [1,2] kann ja dann auch 1 sein. Und dann muss es doch = heißen und nicht >.

Und dann sehe ich absolut nicht wo der da ein q eingebaut hat!!

Also lauter Sachen die ich nciht verstehe..... Crying or Very sad
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