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sinus-funktion
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Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 21:41:29    Titel: sinus-funktion

Guten Abend zusammen,

hab leider nochmal eine Frage:

Hab Probleme bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion f. R--->R mit f(x):= x*sin(1/x), falls x ungleich o und f(0)=0 überall stetig ist. (Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass die Funktion g(x)= sin(x) überall stetig ist)


Mein Ansatz:

Sei h(x)= x. Also dass h überall stetig ist, ist ja einfach zu zeigen. Jetzt müsste ich ja nur noch zeigen das p(x)=sin(1/X) überall stetig ist...und dann kann ich ja sagen dass das Produkt von zwei stetigen Funktionen wieder eine stetige funktion ergibt.

Ich darf ja benutzen dass g(x)=sin(x) überall stetig ist. Dann habe ich mir gedacht dass ich zeige dass k(x)=1/x überall stetig ist. Aber das ist mein erstes Problem. Die ist doch nicht stetig, oder?? Selbst wenn ich sage dass k(0)=0 ist. Denn k(x) hat ja keine hebbare Lücke oder?!?

Dann ist mein nächstes Problem, dass wir in der Vorlesung noch nicht bewiesen haben, dass eine Komposition von zwei stetigen Funktionen wieder stetig ist.

Aber wie kann ich es denn noch zeigen?!? Hab noch versucht eine Fallunterscheidung zu machen.
untersuche erstmal die stetigkeit an der Stelle x=0:

Wenn ich x von rechts gegen null laufen lasse ist ja der limes von f(x)=0

wenn ich x von links gegen null laufen lasse ist der limes von f(x) auch 0.

Und f(0)=0...also stimmen alle drei Ergebnisse überein, und somit ist es bei x=0 stetig.

Aber wie zeige ich dass für die restlichen Punkte??

Und irgendwie kann das ja auch nicht der richtige Weg sein, weil ich überhaupt kein Gebrauch davon mache, dass ich weiß dass g(x)=sin(x) überall stetig ist.

Hoffe ihr könnt mir irgendwie helfen!!

Danke

Estrahita
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 22:29:06    Titel:

Ich würde mir folgendes Überlegen (Ansätze):
sin(x) ist stetig => sin(1/x) für x ungleich 0 steitg ist, denn
Für alle a undgleich 0 element R gilt lim [x gegen a](sin(1/x)) = lim [x gegen 1/a](sin(x)) und somit ist sin(1/x) für x ungleich 0 stetig.

Da sin(x) und auch sin(1/x) beschränkte Funktionen sind (-1<=sin(1/x)<=1) => -1 <= lim[x gegen 0] (sin(1/x)) <= 1
=> lim[x gegen 0] (x*sin(1/x)) = 0
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:01:00    Titel:

take hat folgendes geschrieben:
Ich würde mir folgendes Überlegen (Ansätze):
sin(x) ist stetig => sin(1/x) für x ungleich 0 steitg ist, denn
Für alle a undgleich 0 element R gilt lim [x gegen a](sin(1/x)) = lim [x gegen 1/a](sin(x)) und somit ist sin(1/x) für x ungleich 0 stetig.

Da sin(x) und auch sin(1/x) beschränkte Funktionen sind (-1<=sin(1/x)<=1) => -1 <= lim[x gegen 0] (sin(1/x)) <= 1
=> lim[x gegen 0] (x*sin(1/x)) = 0


Also....nur mal prüfen ob ich es richtig verstanden habe:

bei der funktion g(x)=sinx lässt du ( um den Limes zu erhalten) x gegen a laufen. Und bei der Funktion f(x)=sin(1/x) lässt du x gegen 1/a laufen ...und dann ist das ja der gleiche limes wie bei g(x) und da g(x) stetig ist ist somit auch f(x) stetig.

Ich verstehe nicht so ganz den letzteren Teil. Warum hilft es mir dass ich weiß, dass g und f beschränkte Funktionen sind?

Danke nochmal

Estrahita
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:23:32    Titel:

Hallöchen!
es wäre super super cool, wenn mir noch einer helfen könnte. Muss das nämlich morgen früh abgeben!

Danke
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:39:12    Titel:

Dadruch, dass sin(1/x) beschränkt ist, kannst du folgern, dass x*sin(1/x) für x=0 stetig ist.
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:45:21    Titel:

take hat folgendes geschrieben:
Dadruch, dass sin(1/x) beschränkt ist, kannst du folgern, dass x*sin(1/x) für x=0 stetig ist.


kann man denn das nur folgern, wenn sin(1/x) beschränkt ist??

Also habe ich ja dann gezeigt das f(x) für 0 stetig ist, dann habe ich ja gezeigt dass g(x)= sin (1/x) für x ungleich null stetig ist. und da ich weiß dass h(x)=x überall stetig ist, ist auch h*g für x ungleich null stetig, oder?!!

Naja, verstehe nur nicht warum es eine rolle spielt, dass sin(1/x) beschränkt ist...denn wenn es doch nicht beschränkt wäre, wäre dann der limes [x gegen 0] x*sin(1/x) nicht auch gleich 0??

Estrahita
S1
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 349

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:54:29    Titel:

sieht ulkig aus! Smile wie viele extrema hat denn der graph???



MFG S1
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:57:23    Titel:

ist das jetzt eien Scherzfrage, oder sollte das ein Tipp zu meiner Frage sein?!!?!? Wink
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:58:37    Titel:

schreib dir doch einfach den differenzenquotienten auf an der stelle x=0
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 00:02:48    Titel:

Differenzenquotienten?!? Beschränktheit?!!?!

jetzt bin ich völlig verwirrt Wink

Ich habe gedacht ich kann die Stetigkeit bei folgendermaßen zeigen:
Wenn ich x von rechts gegen null laufen lasse ist ja der limes von f(x)=0

wenn ich x von links gegen null laufen lasse ist der limes von f(x) auch 0.

Und f(0)=0...also stimmen alle drei Ergebnisse überein, und somit ist es bei x=0 stetig.


Geht das so nciht??
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