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Komplexe Zahlen: Verknüpfung e-Funktion <-> Sinus/Cosi
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Powersteffler
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Anmeldungsdatum: 21.08.2004
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2004 - 13:51:57    Titel: Komplexe Zahlen: Verknüpfung e-Funktion <-> Sinus/Cosi

Hallo,
es gilt ja e^(i*phi)=Cos(phi)+i*Sin(phi)
Woher kommt diese Annahme? Kennt jemand einen Beweis?
Grüße,
Stephan
aldebaran
Gast






BeitragVerfasst am: 21 Aug 2004 - 14:14:40    Titel:

Hi,

Beweis mittels Zerlegung in Potenzreihen:
e^x=1+x^2/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+.....+x^n/n!...
einsetzen mit x = i*phi
ergibt:
Potenzreihe cos(x) = 1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...-... usw.
Potenzreihe sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...-... usw.;
(bei allen ungeraden Gliedern bleibt i stehen, i^2n wird ausgeklammert)
bitte beachten, dass i^2=-1 ist !

Tschüss
Powersteffler
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Anmeldungsdatum: 21.08.2004
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2004 - 14:28:27    Titel:

oh, super! danke! Very Happy
Powersteffler
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Anmeldungsdatum: 21.08.2004
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2004 - 14:40:22    Titel:

kennst du auch einen Beweis, der zeigt, dass wirklich jede Funktion in eine Potenzreihe zerlegbar ist? Oder reicht als "Beweis" die herangehensweise:

f(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+...
mit
f(0)=a_0/0!
f'(0)=a_1/1!
f''(0)=a_2/2!
f'''(0)=a_3/3!
...

im Prinzip ist das ja intuitiv verständlich, oder gibts dazu auch einen Beweis?
Grüße,
Stephan
aldebaran
Gast






BeitragVerfasst am: 21 Aug 2004 - 16:26:11    Titel:

Hi,

leider Sad

ich kenne auch nur die Mac Laurin'sche Reihen-Entwicklung!
riemann
Gast






BeitragVerfasst am: 30 Aug 2004 - 12:07:08    Titel:

hi,

es sind ja nicht mal alle funktionen in potenzreihen zerlegbar. z.B. Funktionen, die nur einmal differenzierbar sind, lassen sich auch nicht in potenzreihen entwickeln. Ausserdem kann es sein, dass eine Reihenentwicklung existiert, die aber nicht gegen die ursprüngliche Funktion konvergiert, so dass man erst noch eine Restgliedabschätzung machen muss.
Im komplexen jedoch reicht schon einmalige differenzierbarkeit, um zu zeigen, dass die Funktion in einem Kreis um z0 entwickelbar ist. Der Beweis ging glaube ich über die Cauchyschen Integralformeln.
Powersteffler
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Anmeldungsdatum: 21.08.2004
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 30 Aug 2004 - 13:16:28    Titel:

f(x)=x ist doch z.B. nur einmal diff.bar - und kann ich als potenzreihe schreiben - ok hat nur zwei glieder und das 1. ist 0, aber ansonsten...
Grüße,
Stephan
Gast







BeitragVerfasst am: 30 Aug 2004 - 20:03:15    Titel:

wieso ist f(x)=x nur einmal diffbar??

die 3te ableitung von x ist doch 0 oder nicht??
vielleicht sogar noch die 4te.
Powersteffler
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Anmeldungsdatum: 21.08.2004
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 30 Aug 2004 - 20:16:19    Titel:

sach ma grad ne funktion die nur einmal diff.bar ist, bitte
Physikus
Gast






BeitragVerfasst am: 30 Aug 2004 - 22:04:56    Titel:

Bin mir gerade nicht sicher, aber ist |x| nicht nur einmal diff'bar? Die Ableitung sollte auf jeden Fall bei 0 unstetig sein. Oder ist |x| bei Null schon gar nicht mehr diff'bar? Hmm... Confused Vielleicht, wenn man sowas wie exp(|x|) bildet, das sollte auch bei Null noch diffbar sein, aber da müsste auch ne Unstetigkeit bei Null auftreten.
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