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Extremwertproblem
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Frank_69
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Anmeldungsdatum: 12.12.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 21:47:48    Titel: Extremwertproblem

Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken so geschnitten werden, dass der Abfall minimal wird.

Brauche den die Lösung + Lösungsweg dringend!!!!

Mit Freundlichen Grüßen

Frank
Frank_69
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Anmeldungsdatum: 12.12.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 22:37:04    Titel:

Bitte ich brauche HILFEEEE. Das ist soooooooo wichtig
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:35:44    Titel:

Ich denke mal, dass der Balken ein Rechteck sein soll.
Man kann ein Rechteck, mit Hilfe der Diagonalen, in zwei gleich große Dreieck zerlegen. Wenn dieses Rechteck in einem Kreis liegt und die Eckpunkte die Kreislinie berühren (sonst wird es auf keinen Fall maximal), dann hat diese Diagonale die Länge des Durchmessers. Daher gilt:
Sei d der Durchmesser und a,b die beiden anderen Seiten des Dreiecks. So ist a*b der Flächeninhalt, den wir maximieren möchten. Da das Dreieck rechteckig ist, gilt: a²+b² = d² und somit: b = Wurzel(d²-a²)
Wir wollen also f(a) = a * Wurzel(d²-a²) Maximieren, mit festem d
f'(a) = Wurzel(d²-a²) + a * (-a)/Wurzel(d²-a²) = -a²/Wurzel(d²-a²) + Wurzel(d²-a²)
Nun f'(a) = 0 setzen:
0 = -a²/Wurzel(d²-a²) + Wurzel(d²-a²) => 0 = a² - (d²-a²) = 2a²-d² => 0 = a² - d²/2
=> a = [+]Wurzel(1/2)*d (Da wir eine Länge suchen, nur positiv) und somit b = [+]Wurzel(1/2)*d
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 02:33:11    Titel:

kleine geometrische überlegung reicht aus:

der balken wird die länge l haben und was ist die querschittsfläche? die ist am größten, wenn es ein quadrat ist. also muss der doppelte radius die länge einer diagonale eines quadrats bilden.

d.h. sqrt(2) * a= 2r
also a=sqrt(2) * r

schneide also einen balen mit den maßen 2^0,5 , 2^0,5 , l raus. ist der größt mögliche balken!
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