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Unterräume von |R-Vektorraum V?
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Scraty
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Anmeldungsdatum: 08.11.2005
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 22:51:46    Titel: Unterräume von |R-Vektorraum V?

Moin

also V=|R² zeigen sie ob
das {(x1,x2) | 3*x1 - 4*x2 =a} (a Element |R fest vorgegeben)
ein Untervektorraum von V ist.

also ich weiß welche drei Gesetze zeigen muss

(1) 0 Element U
(2) x,y Element U => x+y Element U
(3) Lamda element K, x Element U => Lamda * x Element U

wie ist das mit dem a fest vorgegeben gemeint und wie zeige ich z. B. das (2)

Schon mal danke im Vorraus

Scraty
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 01:46:57    Titel:

a ist einfach ein parameter, den du durch alle rechnungen mitschleppst.

zu (2):

sind (x1,x2) und (y1,y2) in der menge {(x1,x2) | 3*x1 - 4*x2 =a}=W, dann ist die frage, ob (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2) auch in W liegt, also ob
3*(x1+y1)-4*(x2+y2)=a ist.

aber wenn du die klammern auflöst, und benutzt, was du über x1,x2,y1,y2 weisst, siehst du, dass ....? Smile

hilft dir das weiter?
Scraty
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Anmeldungsdatum: 08.11.2005
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 02:02:36    Titel:

Moin, erstmal danke für die Antwort.

verstehe ich das richtig, dass ich dann schreiben kann, das
3x1 + 3y1 -4x2 -4y2 = a wieder in U liegt, da es ja wieder im |R² liegt?
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 02:28:36    Titel:

damit es in U liegt, muss 3x1 + 3y1 -4x2 -4y2 genau a ergeben und nichts anderes. du musst also die linke seite umformen, irgendwas für einsetzen, was du bereits weisst und dann schauen, ob a herauskommt. falls a herauskommt, ist (x1+y1,x2+y2) in U, wenn nicht dann nicht.
Scraty
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Anmeldungsdatum: 08.11.2005
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 02:34:18    Titel:

das heißt:

3x1 = a+4x2 eingesetzt in 3x1 + 3y1 - 4x1 -4y2 = a

=> 3y1 - 4y2 = 0 da Null element W ist auch (x1+y1,x2+y2) Element W

So habe ich das jetzt verstanden, bitte lass es richtig sein Smile

Gruß Scraty
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 12:35:39    Titel:

nee Smile

also du weisst doch, dass (x1,x2) und (y1,y2) aus W sind. also weisst du, dass 3x1-4x2=a ist und 3y1-4y2=a ist.

jetzt interessiert dich
3x1 + 3y1 - 4x1 -4y2.

das kannst du aber etwas umschreiben, nämlich
=(3x1 - 4x1) + (3y1 -4y2)

und nun deine voraussetzung eingesetzt ist das
=a+a=2a.
2a ist aber meist ungleich a, also ist die summe nicht in W.

einzige ausnahme ist a=0.

also zusammengefasst: für a=0 ist bedingung (2) erfüllt, für a ungleich 0 nie! es ist also nur für a=0 überhaupt möglich für W ein vektorraum zu sein. nu musst du noch (1) und (3) nachprüfen Smile
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 13:20:26    Titel:

Die Aufgabe geht normal mit "einem Satz aus Vorlesung" Smile indem man erkennt, dass genau für den Fall a = 0 die beschriebene Menge der Kern eines homogenen linearen LGS ist und die Kerne von solchen LGS genau die Untervektorräume sind.
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