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vollständige Induktion
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Sarah22
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Anmeldungsdatum: 12.12.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 16:25:54    Titel: vollständige Induktion

Hallo!
Kann mir jemand sagen ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe:

Man soll durch vollständige Induktion beweisen dass 2^(3n) - 1 durch 7 teilbar ist. Mein Gedanke:

2^(3n) - 1 = 7x (ein Vielfaches von 7) , x Element |N

Induktionsbasis: n=1: 2^(3* 1) - 1 = 8 - 1 = 7

Annahme: 2^(3n) - 1 = 7x
umgestellt: 2^(3n) = 7x + 1

Induktionsschritt: n=n+1: 2^(3(n+1)) -1 = 7x =>

=> 2^(3n+3) - 1 = 7x => 2^(3n) * 2^3 - 1 = 7x => 2^(3n) * 2^3 = 7x + 1

2^3 = 8 Element |N, daher ist auch 8 * 2^(3n) = 7x +1 gültig.?

Ist das richtig oder wie löse ich die Aufgabe?
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 17:11:33    Titel:

2^(3(n+1)) -1 = 7x
2^(3n) *8-1=7x
2^(3n) *8-8+8-1=7x
(2^(3n) -1)*8+7=7x
(2^(3n) -1)*8=7(x-1)

fertig nach IA, da (2^(3n) -1)=7x

es sieht besser aus als
2^(3(n+1)) -1 = 0 mod 7
=>(2^(3n) -1)*8 = 0 mod 7

aber ich denke so wie du es schreinst, reicht es auch, aber man sieht es nicht so schnell, mMn^^
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