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Gebrochen rationale Funktionen || Antworten wären Super!
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Jack_m
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Anmeldungsdatum: 14.12.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 00:51:41    Titel: Gebrochen rationale Funktionen || Antworten wären Super!

Ich würde mich um jede Antwort Wirklich freuen! Smile

Also ein Thema unserer nächsten Mathe Klausur werden halt
Gebrochen rationale Funktionen sein!

So, dazu werden wir eine Kurvendiskussion anhand einer Fkt. machen müssen. Nur sind mir da noch paar Unklarheiten!

Folgendes Beispiel.

f(x) = (x² + 2) / (2x)


1. Definitionsbereich ist kein Problem.
Nenner gleich Null setzen, dann erhält man x=0 also ist der Definitionsbereich: D = R =| 0 .


2. Verhalten für x-> + oo (Unendlich)
und für x-> - oo (Unendlich)

Asymptote mit Polynomdivision rechnen, weil Exponent im Nenner kleiner ist als Zähler.

Ergebnis der Polynomdivision soll 0,5x + 2/ (2x).

Wieso ist dann g(x)= 1/2 x ?
Wieso lässt man das Ergebnis, was nach 1/2 x kommt, weg ?

Und warum ist 1/2 x Asymptote von f für x -> +- oo ?

Wie würde eine Fkt. aussehen, wo man die Asymptote anders berechnet?


Wie genau erkenn ich die Polstelle ? Nur wenn Zähler und Nenner das gleiche Ergebnis haben ?


3) Nullstellen auch kein Problem.

- Zähler gleich Null setzen und nach x auflösen, wenn möglich.
- Anschließend x in f(x) ausrechnen und SP mit y-Achse ausrechnen



4 und 5 ) Extremstellen und WP auch kein Problem

6) Wertemenge

Hier ist wieder das Problem. Wie erkenne ich die Wertemenge?


7) Zeichnen

Das fällt mir insofern schwer, als das ich Probleme mit dem Randverhalten/Asymptoten habe, wodurch eine Zeichnung erschwert wird ;(

Eine letze Frage, werden Gebrochen rationale Funktionen als solche Fkt. bezeichnet, wo die der Exponent Zähler ungleich Nenner ist ?

Ich werd gleich nochmal die Zeichnung hochladen, so wie sie ausschauen soll.


Aber wäre echt super, wenn ihr mir die Fragen beantworten könnt, so das ich in den Punkten auch fitt bin, und den Graph problemlos zeichnen kann.

Schonmal vielen Dank!
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 02:09:14    Titel: Re: Gebrochen rationale Funktionen || Antworten wären Super!

Jack_m hat folgendes geschrieben:
2. Verhalten für x-> + oo (Unendlich)
und für x-> - oo (Unendlich)

Ergebnis der Polynomdivision soll 0,5x + 2/ (2x).
Wieso ist dann g(x)= 1/2 x ?
Wieso lässt man das Ergebnis, was nach 1/2 x kommt, weg ?
Und warum ist 1/2 x Asymptote von f für x -> +- oo ?

Wenn du den Grenzwert des zweiten Terms betrachtest, dann siehst du, dass 2/(2x) gegen 0 geht, wenn x gegen plus unendlich oder minus unendlich geht. Im Unendlichen kann man den zweiten Term also weglassen. Gleichzeitig schmiegt sich aber der Graph von f an den Graphen von g(x) = 1/2*x an, und zwar umso näher, je größer |x| wird. Die Asymptote ist also gegeben durch den nach der Polynomdivision übrigbleibenden Ausdruck ohne alle Terme, deren Grenzwert für |x| --> oo Null ist.


Jack_m hat folgendes geschrieben:
Wie würde eine Fkt. aussehen, wo man die Asymptote anders berechnet?

h(x) = 1/x hat eine senkrechte Asymptote bei x = 0. Hier wird keine Polynomdivision durchgeführt, sondern man betrachtet die Definitionslücke und die Grenzwerte von h in der Nähe der Lücke.

Jack_m hat folgendes geschrieben:
Wie genau erkenn ich die Polstelle ? Nur wenn Zähler und Nenner das gleiche Ergebnis haben ?

Zähler und Nenner haben kein "Ergebnis". Ein Pol liegt dort vor, wo der Nenner eine Nullstelle und der Zähler keine Nullstelle hat.

Jack_m hat folgendes geschrieben:
Hier ist wieder das Problem. [b]Wie erkenne ich die Wertemenge?

Die Wertemenge ist die Menge aller Werte, die die Funktion annimmt. Am Ende der Kurvendiskussion hast du genügend Informationen zusammen, um ein Schaubild zu zeichnen, und dann kannst du direkt ablesen, welche Werte von der Funktion angenommen werden (z. B. bei der Funktion k(x) = x² + 2 alle Werte y aus IR mit y >= 2).

Jack_m hat folgendes geschrieben:
Eine letze Frage, werden Gebrochen rationale Funktionen als solche Fkt. bezeichnet, wo die der Exponent Zähler ungleich Nenner ist ?

Ja.

Jack_m hat folgendes geschrieben:
Aber wäre echt super, wenn ihr mir die Fragen beantworten könnt, so das ich in den Punkten auch fitt bin, und den Graph problemlos zeichnen kann.

Wenn da mit dem Zeichnen eine Unklarheit besteht, kann man natürlich auch bei ganzrationalen Funktionen eine Wertetabelle anlegen.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 02:25:25    Titel:

Zitat:
Wieso ist dann g(x)= 1/2 x ?
Und warum ist 1/2 x Asymptote von f für x -> +- oo ?


dich interessiert das verhalten für x->oo...
bei einer funktion wie f(x)=x^2 ist das nicht weiter schwer. du setzt sozusagen einfach oo ein und schaust, was rauskommt Smile

bei der gegebenen funktion steht aber sowohl im nenner, als auch im zähler dann oo, da kannst du keine aussage machen.

durch die andere schreibweise (hast ja dadurch nichts an der funktion selbst geändert) f(x)=0,5x + 2/ (2x), siehst du aber, wenn du oo einsetzt jetzt was passiert.

und zwar betrachtest du getrennt einmal 0,5x
und dann 2/(2x). 0,5x geht gegen unendlich, 2/(2x) geht gegen 0. unendlich+0 = unendlich, also geht f(x) gegen +oo.

die 2/(2x) gehen gegen 0, das bedeutet je höher x wird, desto mehr ähnelt f(x) g(x). deshalb ist g(x) asymptote.

allgemein gehst du so vor, dass du die funktion in einzelteile zerlegst, wo du über die einzelteile dann einfach aussagen kannst, wie ihr asymptotisches verhalten ist.

Zitat:

Wie würde eine Fkt. aussehen, wo man die Asymptote anders berechnet?


(im folgenden immer asympotote für x-> +oo)
asymptote von f(x)=x^2 ist g(x)=x^2 - da brauch man gar nix weglassen Smile
asymptote von f(x)=x^2+irgendwas, was gegen 0 geht => g(x)=x^2.
asymptote von f(x)=x^2+irgendwas, was gegen 1,7 geht => g(x)=x^2+1,7.

konkreteres beispiel:
f(x)=x^2+(x+1)/(x^2+2) => g(x)=x^2, weil der hintere term gegen 0 geht.

http://de.wikipedia.org/wiki/Asymptote

Zitat:
Wie genau erkenn ich die Polstelle ? Nur wenn Zähler und Nenner das gleiche Ergebnis haben ?


nein, zb f(x)=1/x hat in 0 einen pol.
pole sind immer an stellen, wo die funktion gegen unendlich geht, also meistens nicht definiert ist.
siehe auch wikipedia Smile

Zitat:
Wie erkenne ich die Wertemenge?


zb indem du dir den graph der funktion anschaust. oder indem du extrema untersuchst und monotonie etc.

f(x)=x^2 hat ein relatives minimum an der stelle 0, mit dem wert f(0)=0. weiterhin strebt sie für x->+- oo gegen +oo. polstellen gibt es keine. folglich kann sie nirgendwo negativ werden Smile => wertebereich = [0,oo).

f(x)=1/x hat keine relativen extrema, eine polstelle bei 0, usw, mal dir ein bildchen und du siehst wertebereich = R\{0].

es gibt da kein schema f zum berechnen des wertebereiches - einfach nachdenken, was du aus den erkenntnissen der kurvendiskussion schliessen kannst Smile

Zitat:
Eine letze Frage, werden Gebrochen rationale Funktionen als solche Fkt. bezeichnet, wo die der Exponent Zähler ungleich Nenner ist ?


mit dem exponenten hat das eigentlich wenig zu tun. gebrochen rationale funktionen sind einfach funktionen die im nenner von x abhängen.

beispiele
f(x)=1/x
f(x)=(1+x)/(1-x)
f(x)=x^2/(x-1)
f(x)=1+1/x
f(x)=17x+2/(x^2-x-1)+x/(x^2-1)

siehe auch wikipedia.
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