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Umkehrfunktion
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chris_wen
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Anmeldungsdatum: 29.11.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 11:47:22    Titel: Umkehrfunktion

hallo!
gegeben ist die funktion f(x) = 0.5 * ln(x+(x²+1)^0.5) und nun soll man dazu die umkehrfunktion dazu angeben...
also zuerst tausche ich die variablen, nimm beide seiten mal 2 und wende noch e^-funktion an...
dann müsste doch da stehen:
e^2x = y + (y²+1)^0.5
aber wie mache ich nun weiter? wie kann ich das jetzt nach y auflösen?
vielen dank im voraus,
christoph
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 11:51:04    Titel:

Hallo chris_wen,

als erstes ist ja gar nicht gesichert ob es eine Umkehrfunktion gibt. Dies müsste man erstmal nachweisen mit den Satz über die inversen Funktionen.
chris_wen
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Anmeldungsdatum: 29.11.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 11:55:09    Titel:

hm... der satz über die inversen funktionen sagt mir ehrlich gesagt nichts... *g*
aber es gibt eine umkehrfunktion, das geht aus der angabe hervor. reicht auch nicht der beweis dass die funktion streng monoton steigend ist? und das ist hier ja der fall...
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 11:57:35    Titel:

In welchem Gebiet (Intervall) soll denn die Umkehrfunktion existieren?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 11:59:55    Titel:

Die Ableitung ist

1/[2*(1+x²)^(0.5)],

also ist die Funktion auf ganz R invertierbar.
chris_wen
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Anmeldungsdatum: 29.11.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 12:02:37    Titel:

hm... naja... eigentlich in ganz D(max), oder? nur die frage was hier D(max) ist...
wir können auch einfach irgendein Intervall hernehmen, meinetwegen von [0;10]
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 12:05:54    Titel:

Der Satz über die inverse Funktion sagt aus, wenn die Ableitung nicht Null wird in einen Punkt, dann ist die Funktion auf einer Umgebung von diesen Punkt invertierbar und die Umkehrabbildung ist stetig differenzierbar. Außerdem sagt der Satz noch ist

f(x) = 0.5 * ln(x+(x²+1)^0.5)
und g(y) die inverse Abbildung so ist:

f'(x)*g'(y)=1

Diese Identität sollte helfen.
chris_wen
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Anmeldungsdatum: 29.11.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 12:06:07    Titel:

ja, genau, ich habe die selbe ableitung rausbekommen...
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 12:13:35    Titel:

Hallo !

Um den Wurzelausdruck aus der Gleichung e^2x = y + (y²+1)^0.5
zu entfernen, lass die Wurzel auf einer Seite stehen und setze alles
andere auf die andere Seite. Dann Quadrieren.
e^2x - y = (y²+1)^0.5
(e^2x - y)² = y² + 1
=> Quadratische Gleichung
Ausmultiplizieren und nach y auflösen !

O.k. ?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 12:15:08    Titel:

Dies würde sogar eine lineare Gleichung ergeben und wäre noch besser.
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