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Endliche Abelsche Gruppe
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mathelooser
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Anmeldungsdatum: 07.12.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 13:48:38    Titel: Endliche Abelsche Gruppe

Sei G endliche abelsche Gruppe, °die Verknüpfung auf G und e element G das neutrale Element bezüglich °. Für x elem G definieren wir die Ordnung von x in G als die kleinste natürliche Zahl k>=1 mit x^k = e.
Formal: ord(x):=min{i elem N\(0) | x^i= e}.

1.) Zeigen sie, dass für jedes x aus G die Ordnung ord(x) endlich ist.
2.) Zeigen sie: ist n elem N\(0) mit x^n=e, so ist ord(x) ein Teiler von n.
3.) Zeigen sie: ist n elem N\(0) mit x^n=e, so ist ord(x) = n, genau dann, wenn x^(n/p) != e für alle Primteiler p von n gilt.
4.) Zeigen sie, dass für x elem G und a elem N\(0) gilt:
ord(x^a) = ord(x) / ggt(ord(x),a)

Verwenden sie 2 zum Bewies von drei und drei zum Beweis von vier.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2005 - 16:06:37    Titel:

Mach mal ein Kapitel "Primitivwurzeln" in einem halbwegs vollständigen Buch über Zahlentheorie. Da steht das drinnen. Genau so, wie Du es haben willst, für Modulo-Gruppen.
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