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Duale Abbildung
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Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 14:39:56    Titel: Duale Abbildung

Hallo zusammen,

Bin mir bei folgender Aufgabe wieder ein bisschen unsicher. Ich hab zwar eine Lösung....aber sehr unsicher ob ich das so machen darf.

Die Aufgabe:

Es seien V und W endlich-dimensionale Vektorräume über einen Körper K.

Wie aus der Vorlesung bekannt ist, ist die Abbildung

Q: Hom(V,W)---->Hom(W^*,V^*), F|---->F^*

(die jedem F element von Hom(V,W) die duale Abbildung zuordnet) ein Homomorphismus. Zeigen Sie, dass Q sogar ein Isomorphismus ist.


Meine Lösung:

Ich muss ja nur noch zeigen das Q bijektiv ist.

Sei V n-dimensional und W m-dimensional.
In der VL hatten wir: dimHom(V,W)= dimV*dimW

Also ist Hom(V,W) n*m-dimensional.

Wir hatten auch in der VL: dim V^*=dimV

Also ist die dimension von V^* n und die Dimension von W^* ist m.

Also ist Hom(W^*,V^*) m*n-dimensional.

Also hat Hom(V,W) und Hom(W^*,V^*) die gleiche Dimension!

Jetzt "glaube" ich, dass man jetzt sagen kann dass Q ein Isomorphismus ist.....stimmt das?!?

Ich habe nämlich folgendes in meinem Skript stehen:

V=~W ist äquivalent zu dimV=dimW.

Naja, ich hoffe dass es richtig ist was ich gemacht habe. Bin mir beim Schluß ziemlich unsicher.

Danke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 14:55:07    Titel:

So geht dat nicht Smile
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 14:58:01    Titel:

hhmmmm....also bin ich wahrscheinlich völlig auf dem falschen Dampfer, oder?!?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 15:00:54    Titel:

Du verwechselst die Eigenschaften "Isomorph zu sein" und "Isomorphismus zu sein", obwohl meiner Meinung nach, das recht schwer ist. Indem Du zeigst, dass deine beiden VR isomorph sind, zeigst Du nur, dass es einen Iso. gibt. Nicht, dass deine Abbildung ein Iso. ist.

Der richtige Beweis muss explizit über z.B. Basen und Bilder gehen. Oder alternativ wirklich Hardcore über Inj. und Surj.
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 15:06:20    Titel:

schade...meine Lösung sah doch sooo schön aus Smile

Naja....dann versuche ich mal mein Glück mit Basen und Bilder!Werde dann meine Ansätze hier mal reinschreiben.

Verstehe aber absolut nicht den Unterschied zwischen Isomorph und Isomorphismus.

Das Thema ist mir einfach ein bisschen zu abstrakt..... Confused
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 15:22:05    Titel:

Zitat:
Das Thema ist mir einfach ein bisschen zu abstrakt.....


Ist es ja. Muss ich zugeben. Ich mache Dir mal ein Beispiel. Wenn Du z.B. die Nullabbildung von lR^2 nach lR^2 nimmst. Dann ist die sicher kein Isomorphismus. Aber lR^2 ist natürlich durch die Identität isomorph zu sich selbst als lR-Vektorraum. Daher muss aber deine Abbildung kein Isomorphismus sein. Und dein Beweis ist genau so aufgebaut, wenn ich das richtig verstanden habe.
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 15:40:05    Titel:

Hey Algebrafreak! (hoffe du bist noch da)

Habe gerade fleißig in meinem Skript nach abstrakten Sätzen gesucht!!

Und ich denke dass ich wieder einen Ansatz habe...(der diesmal hoffentlich richtig ist!!)

Wir hatten mal folgendes in der VL : Hom(V,W)---->~M(m*n,K).

Also ist diese Abildung ja ein Isomorphismus (hoffe ich verwechsle das gerade nicht schon wieder)

Dann ist doch Hom(W^*,V^*)--->M(n*m,K) ein Isomorphismus oder??!?
M(n*m,K) ist doch das Inverse von M(m*n,K) Question

Und A ist ein Element von M(m*n,K) und A^T ist ein Element von M(n*m,K).

wir hatte auch mal in der VL stehen:

F:V--->W sei k linear. Dann gilt F=^A (der "Hut" ist auf dem Gleichheitszeichen) und F*=A^T

Hoffe du kannst irgendwie verstehen was ich meine. Ist ziemlich schwer aufzuschreiben. Ich hab dazu ein Diagramm gemalt.

Ich glaube dass der Prof mal gesagt hat das die Transposition ein Isomorphismus ist.

Also: Hom(V,W)---->M(m*n,K) ist ein isomorphismus
und Hom(W^*,V^*) ist isomorphismus
und M(m*n,K)--->M(n*m,K) ist ein Isomorphismus,

muss dann nicht auch Hom(V,W)---->Hom(W^*,V^*) ein Isomorphismus sein?!?!

Ich hoffe ich habe jetzt nicht nur blödsinn hierrein geschrieben!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 15:46:27    Titel:

Hmm. Wenn ich das jetzt korrigieren müsste, würe ich das durchstreichen und dazu schreiben: macht so keinen Sinn (mein lieblings Kommentar). Machen wir mal langsam.

Deine Abbildung. F = F^*. Was macht sie deiner Meinung nach?
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 15:51:14    Titel:

Manno... Confused Schon wieder falsch!!

Also die Abbildung ordnet jeder Funktion F die duale Abbildung von F zu!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Dez 2005 - 15:54:45    Titel:

Ok. Und wie ist diese duale Abbildung definiert?
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