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Steckbriefaufgabe (umgekehrte Kurvendiskussion) 3ten Grades
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wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
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BeitragVerfasst am: 16 Dez 2005 - 20:36:36    Titel: Steckbriefaufgabe (umgekehrte Kurvendiskussion) 3ten Grades

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Steckbriefaufgabe (umgekehrte Kurvendiskussion) 3ten Grades

Wichtig ist dabei, wie man die im Text versteckten Angaben verarbeiten muss...

  • Die allgemeine Form 3ten Grades und ihre Ableitungen:

    f(x) = ax³ + bx² + cx + d
    f'(x) = 3ax² + 2bx + c
    f''(x) = 6ax + 2b
    f'''(x) = 6a

    Die zu bestimmenden Unbekannten sind immer eine mehr als der Grad n der Funktion,
    daher muss man um die (n+1) Unbekannten genau zu bestimmen (n+1) Hinweise finden,
    die man dann verwenden kann.
    In diesem Fall also 4 Hinweise.

  • Symmetrie:
    Punktsymmetrie zum Ursprung im Fall 3ten Grades.
    Liegt eine Punktsymmetrie vor, sind die Unbekannten b = 0 und d = 0 vorbestimmt.

    Symmetrie --> -f(x) = f(-x)
    -f(x) = -ax³ - bx² - cx - d
    f(-x) = a(-x)³ + b(-x)² + c(-x) + d

    -ax³ - bx² - cx - d = a(-x)³ + b(-x)² + c(-x) + d
    -a- b- cx - d = -a+ b- cx + d

    Macht man jetzt einen Koeffizientenvergleich erkennt man:
    -a = -a --> Das stimmt für alle a € IR
    -b = +b --> Das ist nur erfüllt, wenn b = 0
    -c = -c --> Das stimmt für alle c € IR
    -d = +d --> Das ist nur erfüllt, wenn d = 0

  • Schnittpunkte mit der y-Achse:

    f(x) = ax³ + bx² + cx + d --> f(0) = a(0)³ + b(0)² + c(0) + d --> f(0) = d

    Damit kann man ganz einfach den Wert für d bestimmen indem man für x einfach die Null einsetzt...

  • Nullstellen:
    Das sind Schnitt- oder Berührpunkte mit der x-Achse, daraus ergibt sich:
    ax³ + bx² + cx + d = 0 für einen bestimmten Wert für x.

    Der Fall, dass es sich um einen Berührpunkt handelt deutet dann noch auf eine Extremstelle hin

    Beispiel:
    Die Funktion schneidet die x-Achse bei x = 2 !
    a*(2)³ + b*(2)² + c*(2) + d = 0
    8a + 4b + 2c + d = 0

  • Extremstellen:
    Extremstellen, also Hoch- oder Tiefpunkte, sind Nullstellen der 1. Ableitung,
    Das bedeutet, dass in diesen Punkten die Steigung der Funktion gleich Null ist.
    Es liegt also eine waagrechte Tangente vor, also eine parallele Gerade zur x-Achse.

    f'(x) = 0 --> 3ax² + 2bx + c = 0

    Beispiel:
    Die Funktion wird bei x = 3 minimal !
    3a*(3)² + 2b*(3) + c = 0
    27a + 6b + c = 0

  • Wendestellen:
    Wendestellen sind Nullstellen der 2. Ableitung, an diesen Stellen ändert sich die Richtung der Steigung.

    f''(x) = 0 --> 6ax + 2b = 0

    Beispiel:
    Die Funktion hat bei x = 5 eine Wendestelle !
    6a*(5) + 2b = 0
    30a + 2b = 0

    Ein Spezialfall des Wendepunktes ist der Sattelpunkt.
    Dies ist dann ein Wendepunkt an dem die Steigung der Tangente Null ist.

    f''(x) = 0 --> 6ax + 2b = 0
    und
    f'(x) = 0 --> 3ax² + 2bx + c = 0

  • Punkte der Funktion sind gegeben:
    Man setzt diese dann einfach ein.

    Beispiel:
    Die Funktion beinhaltet den Punkt P(3/6) !

    a*(3)³ + b*(3)² + c*(3) + d = 6
    27a + 9b + 3c + d = 6

  • Flächen:
    Über diese kann man auch eine Gleichung bekommen um die Unbekannten zu bestimmen.

    Das schwierige hierbei ist die Flächengleichung richtig aufzustellen, vorallem dann,
    wenn noch die Integrationsgrenzen von den Unbekannten selber abhängen.
    Allgemein integriert man einfach mal die Funktion f(x) und bekommt eine Flächenfunktion F(x) heraus:
    F(x) = Integral(ohne Grenzen)[ax³ + bx² + cx + d]dx
    F(x) = [(1/4)ax^4 + (1/3)bx³ + (1/2)cx² + dx]

    Jetzt muss man noch die Grenzen der gesuchten Fläche bestimmen,
    wobei sich meistens eine Skizze der Funktion anbietet, sofern das möglich ist.

    Wichtig hierbei:
    Die Nullstellen der Funktion dürfen nicht im Integrationsintervall liegen.
    Man darf also nicht über die Nullstellen hinweg integrieren.


Wenn man also alle Hinweise verarbeitet hat bekommt man in der Regel mehrere Gleichungen um die Unbekannten a,b,c,d zu bestimmen.

Das kann man dann mit einem Gleichungssystem lösen oder einfach durch das Einsetzverfahren.

Fragen und Anregungen sowie Beispielaufgaben bitte hier posten:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=297212#297212


Zuletzt bearbeitet von wild_and_cool am 17 Dez 2005 - 14:27:50, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 17 Dez 2005 - 11:04:01    Titel: Beispielaufgabe 3ten Grades

Aufgabe:
Eine Parabel 3. Ordnung hat in W( 0 / (8/9) ) einen Wendepunkt.
Sie schneidet die x-Achse in N( 1 / 0 ) und
begrenzt mit den Koordinatenachsen im 1. Feld eine Fläche vom Inhalt A = (15/36) FE ein.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

1. Die allgemeine Gleichung 3ter Ordnung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a

2. Hinweise sammeln und einsetzen:

Wendepunkt W( 0 / (8/9) ):

f(0) = (8/9) --> a*(0)³ + b*(0)² + c*(0) + d = (8/9) --> d = (8/9)
f''(0) = 0 --> 6a*(0) + 2b = 0 --> 2b = 0 --> b = 0

Schneidet die x-Achse in N( 1 / 0 ):

f(1) = 0 --> a*(1)³ + c*(1) + (8/9) = 0 --> a + c = -(8/9)

Fläche von 0 bis 1 von A = (15/36) FE:

F(x) = Integral( 0 bis 1 )[ ax³ + cx + (8/9) ]dx = (15/36)
[(1/4)ax^4 + (1/2)cx² + (8/9)x]( 0 bis 1 ) = (15/36)
(1/4)a*(1)^4 + (1/2)c*(1)² + (8/9)*(1) = (15/36)
(1/4)a + (1/2)c + (8/9) = (15/36)

Jetzt haben wir 2 Gleichungen für noch 2 Unbekannte:

(1) a + c = -(8/9)
(2) (1/4)a + (1/2)c + (8/9) = (15/36)

Lösen wir also (1) nach a auf:
a + c = -(8/9)
--> a = -(8/9) - c

Multiplizieren wir (2) mit 36:

(1/4)a + (1/2)c + (8/9) = (15/36)
--> (36/4)a + (36/2)c + ((36*8)/9) = 15
--> 9a + 18c + 32 = 15
--> 9a + 18c = -17

Jetzt setzen wir hier das a von oben ein:

9*(-(8/9) - c) + 18c = -17
--> -8 - 9c + 18c = -17
--> 9c = -9
--> c = -1

Setzen wir das jetzt wieder ein bekommen wir a:

a = -(8/9) - (-1)
--> a = -(8/9) + 1
--> a = -(8/9) + (9/9)
--> a = (1/9)

Alles in die allgemeine Gleichung eingesetzt:

f(x) = (1/9)x³ - x + (8/9)

Und als letztes schauen wir uns das dann noch als Zeichnung an:



Dazu kann man sehr gut die OnlineTools unserer Datenbank nutzen.
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