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Datenbank für Musterlösungen --> Quadratische Gleichungen
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wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 17 Dez 2005 - 01:23:22    Titel: Datenbank für Musterlösungen --> Quadratische Gleichungen

Datenbank für Musterlösungen
Lösen quadratischer Gleichungen

Um Gleichungen zu lösen die in der Form f(x) = ax² + bx + c gegeben sind gibt es verschiedenei Möglichkeiten.

  • Lösen mit Hilfe gegebener Formeln
    Man sucht die reellen Nullstellen einer quadratischen Gleichung:

    ax² + bx + c = 0

    Dazu kann man zwei verschiedene Formeln verwenden:

    1. Die pq-Formel:


      Beispiel:
      2x² - 14x + 24 = 0

      Aus der Formel ergibt sich:
      Durch 2 teilen, da vor dem x² nichts mehr stehen darf

      x² - 7x + 12 = 0

      Jetzt nehmen wir p = -7 und q = 12, dann setzen wir in die Formel ein

      x1/2 = -(-7/2) ± √[ (-7/2)² - 12 ]
      x1/2 = (7/2) ± √[ (49/4) - 12 ]
      x1/2 = (7/2) ± √[ (49/4) - (48/4) ]
      x1/2 = (7/2) ± √[ (1/4) ]
      x1/2 = (7/2) ± (1/2)

      x1 = (7/2) + (1/2) = (8/2) = 4
      x2 = (7/2) - (1/2) = (6/2) = 3

      Daraus ergeben sich die beiden Lösungen:
      x1 = 4
      x2 = 3

      Man kann jetzt die gegebene Gleichung auch schreiben als:
      2 * (x-3) * (x-4) = 2x² - 14x + 24

    2. Die Mitternachtsformel:


      Beispiel:
      2x² - 14x + 24 = 0

      Aus der Formel ergibt sich:
      a = 2, b = -14, c = 24

      In die Formel eingesetzt:
      x1/2 = (1/2*2) * { -(-14) ± √[ 14² - 4*2*24 ] }
      x1/2 = (14/4) ± (1/4) * √[ 196 - 192 ]
      x1/2 = (7/2) ± (1/4) * √[ 4 ]
      x1/2 = (7/2) ± (1/4) * 2
      x1/2 = (7/2) ± (2/4)
      x1/2 = (7/2) ± (1/2)

      x1 = (7/2) + (1/2) = (8/2) = 4
      x2 = (7/2) - (1/2) = (6/2) = 3

      Daraus ergeben sich die beiden Lösungen:
      x1 = 4
      x2 = 3

      Man kann jetzt die gegebene Gleichung auch schreiben als:
      2 * (x-3) * (x-4) = 2x² - 14x + 24


Die quadratischen Gleichungen sind dann im Reellen nicht lösbar, wenn unter der Wurzel etwas negatives steht,
das bedeutet dann, dass es keine reellen Nullstellen gibt.



Fragen und Anregungen bitte hier posten:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=297212#297212
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