Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Knobelaufgabe (Teilbarkeit)
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Knobelaufgabe (Teilbarkeit)
 
Autor Nachricht
Gauss
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 21 Dez 2005 - 13:35:11    Titel: Knobelaufgabe (Teilbarkeit)

Gibt es eine Zahl n, so dass

1987| n^n+(n+1)^n ?

Bemerkung: a|b heisst a teilt b. z.B. 7|21.


SM 940 F672 p.63
trinkMilch
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 24 Dez 2005 - 11:55:20    Titel:

Hmm, ich versuchs mal ^^

also:

n^n+(n+1)^n (mod 1987) = 0

1987 ist ja ein Primzahl,

und ich erinner mich gerade mal an einen Primzahltest,
den ich mal programmiert habe:
Jedenfalls gilt mathmatisch.

Wenn n eine Primzahl ist, muss
fuer jedes a \in Z/p* gelten:
a^((n-1)/2) mod n = +1 oder -1

Wenn man nun fuer a 100 verschiedene Werte einsetzt,
und immer +1 oder -1 rauskommt, ist n mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1 - (1/2)^100 eine Primzahl etc....

Das wichtige ist halt nur, dass bei einem exponenten n = (1987-1)/2
für jede Basis entweder +1 oder -1 rauskommt (mod 1987).

nun mal (1987-1)/2 für n in deine Gleichung eingesetzt, und siehe da .p

993^993 (mod 1987) = 1

und (993+1)^993 (mod 1987) = -1

1-1=0 :D

also n = 993

Um auf weitere Lösungen zu kommen, habe ich noch ein kleines C-Programm geschrieben...
Code:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

long int Modulopotenz(long int, long int);

int main(void)
{
    long int a=0,b=0,n=0;
   
    for (n; n < 1987; n++)
    {
        a = Modulopotenz(n,n);
        b = Modulopotenz((n+1),n);
        if (((a+b)%1987) == 0)
        {
           printf("n = %i", n);
        }
       
    }
    printf("\nbeendet...\n");
}
       
       
       
       
long int Modulopotenz(long int b, long int e)
{
     long int n = 1;
     int i=0;
     for (i; i < e; i++)
     {
         n = n*b;
         n = n % 1987;
     }
     return n;
}

Auch hier ist 993 einzige Lösung, das wird wohl auch mit den
Zyklen in Gruppen etc zu tun haben, aber will nicht mehr denken ^^

Frohes Fest!
trinkMilch
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 24 Dez 2005 - 21:25:40    Titel:

asooo ^^

also es gibt natuerlich noch mehr lösungen,

alle a , für a = 993 (mod 1986)

also a = n*1986 + 993 , n \in N

cu...
Gauss
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 09:33:09    Titel:

trinkMilch hat folgendes geschrieben:

Wenn man nun fuer a 100 verschiedene Werte einsetzt,
und immer +1 oder -1 rauskommt, ist n mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1 - (1/2)^100 eine Primzahl etc....


Ja das stimmt.

Ein Wahrscheinlichkeits-theoretischer Ansatz wäre auch denkbar. Erdös hat folgende interessante Erkenntnis gehabt:
Gegeben sei eine Menge M und eine Teilmenge T. Ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementes m€M in T aufzutauchen größer als 0, so existiert mindestens ein Element in T.
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Knobelaufgabe (Teilbarkeit)
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum