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Knobelaufgabe (Beweis)
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trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 24 Dez 2005 - 10:53:15    Titel: Knobelaufgabe (Beweis)

Hi, mal wieder eine Knobelaufgabe Very Happy

Man hat eine Bett mit den Maßen: 1m x 1,4m

Nun lässt man 143 Reiszwecken auf das Bett fallen.

Beweise, dass es mindestens 2 Reiszwecken gibt, die weniger
als 15cm voneinander entfernt auf das Bett gefallen sind.

Viel Spass.

Und vorallem:
Frohe Weihnachten!
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 24 Dez 2005 - 11:48:56    Titel:

der rand des brettes ist 4,8m lang.
der flächeninhalt des brettes ist 1,4m².

angenommen, es gäbe einer verteilung der 143 reiszwecken, so dass keine reiszwecke weniger als 15 cm von einer anderen entfernt liegt.
dann kann man sozusagen 143 kreisscheiben mit einem radius von 7,5cm so auf das brett legen, dass sich keine der kreisscheiben überschneiden. das ergibt einen flächeninhalt von 143*(0,075m)^2*pi=2,527m².
nun dürfen diese kreisscheiben aber über den rand des brettes hinaus"schauen", nur deren mittelpunkte müssen auf dem brett liegen. da der rand 4,8m lang ist, kann man dort maximal 4,8/0,15=32 kreisscheiben so nebeneinander legen, dass sie nur zur hälfte auf dem brett liegen. dazu kommen noch maximal 4 kreisscheiben, die nur zu (wieder maximal) einem viertel auf dem brett liegen, nämlich die kreisscheiben, deren mittelpunkte die eckpunkte des brettes sind. bei diesen 4 kreisscheiben liegt maximal eine fläche von 4*(3/4)*(0,075m)²*pi=0,05301m² ausserhalb des brettes. bei den randkreisscheiben liegt maximal eine fläche von 32*(1/2)*(0,075m)²*pi=0,2827m² ausserhalb des brettes.

sehr grob abgeschätzt, bedecken die 143 kreisscheiben auf dem brett also eine gesamtfläche von 2,527m²-0,05301m²-0,2827m²=2,1913m².
das ist mehr als der flächeninhalt des brettes => widerspruch. => von 143 reiszwecken haben immer mindestens 2 einen abstand von weniger als 15cm.
nico123
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Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 224

BeitragVerfasst am: 24 Dez 2005 - 11:51:59    Titel:

so hätte ich das auch gemacht!
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 24 Dez 2005 - 12:07:18    Titel:

Jau, kann man soo machen :D

Ist ja auch "Schubfachprinzip" , nur mit runden Fächern ^^

Also ich habe es damals soo gemacht.
(vielleicht ein bissl einfacher zu "lesen", aber nicht unbedingt besser)

Man teilt das Brett in Quadrate auf mit eiener Kantenlänge von 10cm

also hat man 10*14 = 140 Quadrate, die bedecken das ganze Brett
(und nichts steht über oder ueberlappt sich, etc...)

Die Diagonale eines Quadrates beträgt:
sqrt(10^2+10^2) = 10*sqrt(2) = 14,14cm

=> Bei 140 Reiszwecken haben mindestens 2 Reiszwecken einen
Abstand von weniger als 15cm

cu....
-=rand=-
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Anmeldungsdatum: 21.03.2005
Beiträge: 959

BeitragVerfasst am: 24 Dez 2005 - 13:40:46    Titel:

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/28128,0.html
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