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Schokoladenei
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tosja
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Anmeldungsdatum: 04.12.2005
Beiträge: 4
Wohnort: Stade

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2005 - 13:47:38    Titel: Schokoladenei

Eine super Aufgabe, die ich leider nicht lösen kann!

Ein kantiges Schokoladenei wird mathematisch von zwei Kurven K1 und K2 begrenzt, die um die x-Achse rotieren.
K1: f1(x)= (2*x+16)^(1/2)
K2: f2(x)=2*(4-x)^(1/2)
1) Geben Sie eine Abbildung an, mit der K1 auf K2 abgebildet werden kann.
2) Berechnen Sie den Winkel zwischen K1 und K2 an der Übergangsstelle, den Flächeninhalt des Schokoladeneies, wenn es in der x-y-Ebene durchgeschnitten wird, und das Volumen des Rotationskörpers.
An welcher Stelle der x-Achse muss die Halbierungsmarke für das Volumen angebracht werden?
3) Man denkt sich das Schokoladenei hohl mit einem Zylinder im Inneren, dessen Grundkreise die kurven K1 und K2 berühren.
Bestimmen Sie das größtmögliche Zylindervolumen!
4) Das Schokoladenei soll zwei kegelförmige Hütchen bekommen. Vom Punkt P(5:0) aus ist eine Mantellinie t2 Tangente an K2, die andere Mantellinie t1 ist Tangente an K1 durch den Schnittpunkt von t2 mit der y-Achse.

Hilfe!
halg
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Anmeldungsdatum: 07.06.2005
Beiträge: 1007

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2005 - 21:53:21    Titel:

K1: f1(x) = sqrt(2x+16)
K2: f2(x) = 2*sqrt(4-x)


1) f2(x) = sqrt(2*(24-[f1(x)]^2)), x€[-8;4]

2) Schnittpunkt bei x=0
f1´(x) = 1/sqrt(2x+16)
f2´(x) = -1/sqrt(4-x)

f1´(0) = 1/4
f2´(0) = -1/2

Winkel (der innere Winkel im Ei):
alpha = pi - arctan(1/4) - arctan(1/2) = pi - 0,2449786 - 0,4636476 = 2,4329664 (=139,3987°)

Flächeninhalt:
A = INT[von -8 bis 0]f1(x)dx + INT[von 0 bis 4]f2(x)dx

A = INT[von -8 bis 0]sqrt(2x+16)dx + INT[von 0 bis 4]2*sqrt(4-x)dx

A = 2/6*sqrt((2x+16)^3)[von -8 bis 0] - 4/3*(sqrt(4-x)^3)[von 0 bis 4]

A = 2/6*sqrt((2x+16)^3)[x=0] + 4/3*(sqrt(4-x)^3)[x=0]

A = 2/6*sqrt(16^3) + 4/3*sqrt(4^3) = 2/6*64 + 4/3*8 = 64/3 + 32/3 = 96/3 = 32


Volumen des Rotationskörpers:
V = V1 + V2 = V[f1(x)] + V[f2(x)]

V1 = pi*INT[von -8 bis 0][f1(x)]^2 dx
V1 = pi*INT[von -8 bis 0](2x+16)dx
V1 = pi*(x^2 + 16x) [von -8 bis 0]
V1 = pi*(0 - 64 + 128) = pi*64

V2 = pi*INT[von 0 bis 4][f2(x)]^2 dx
V2 = pi*INT[von 0 bis 4](16-4x)dx
V2 = pi*(16x-2x^2)[von 0 bis 4]
V2 = pi*(64 - 32) = pi*32

V = pi*96


Halbierungsmarke (V3=V/2=pi*48):

pi*INT[von -8 bis x1][f1(x)]^2 dx = pi*48
INT[von -8 bis u](2x+16)dx = 48
(x^2 + 16x) [von -8 bis u] = 48
u^2 + 16u - 64 + 128 = 48
u^2 + 16u + 16 = 0
u = -8 ± sqrt(64-16)
u = -8 ± 4sqrt(3)
u1 = -8 - 4sqrt(3) ?????
u2 = -8 + 4sqrt(3) = -1,0717968


3) Zylinder
V = pi*r^2*h
Radius r = f1(v) = f2(w)
Höhe h = -v + w

f2(w) = 2*sqrt(4-w) = f1(v)
4-w = (f1(v)/2)^2
w = 4-(f1(v)/2)^2 = 4-(2v+16)/4

V = pi*[f1(v)]^2*(-v+4-(f1(v)/2)^2)

V = pi*(2v+16)*(-v+4-(2v+16)/4)

V = pi*1/4*(2v+16)*(-4v+16-2v-16)

V = pi*(v+8)*(-3v)

V(v) = pi*(-3v^2 - 24v)

V´(v) = pi*(-6v - 24)

V´(v) = 0

v = -6/24 = -4

r = f1(-4) = sqrt(2(-4)+16) = sqrt(8)

w = 4-(2v+16)/4 = 4-(2*(-4)+16)/4 = 2

h = -(-4) + 2 = 6


4) kegelförmige Hütchen

t2 Tangente an K2 durch P(5|0), der Berührpunkt Q2(q2|f2(q2))
f2´(x) = -1/sqrt(4-x)

t2(x) = m(x-5)

m = f2´(q2) = -1/sqrt(4-q2)

t2(x) = (-1/sqrt(4-q2))(x-5)

t2(q2) = f2(q2)

(-1/sqrt(4-q2))(q2-5) = 2*sqrt(4-q2)
-(q2-5) = 2*(4-q2)
5-q2 = 8-2q2
q2 = 3
m = -1/sqrt(4-3) = -1
t2(x) = -1*(x-5) = -x+5


Schnittpunkt von t2 mit der y-Achse (0|5)
Tangente an K1 durch (0|5) berührt K1 im Punkt Q1(q1|f1(q1))

f1(x) = sqrt(2x+16)
f1´(x) = 1/sqrt(2x+16)

t1(x) = 1/sqrt(2q1+16)*x + 5

t1(q1) = f1(q1)
1/sqrt(2q1+16)*q1 + 5 = sqrt(2q1+16)
5 = sqrt(2q1+16) - 1/sqrt(2q1+16)*q1
5*sqrt(2q1+16) = 2q1+16 - q1
5*sqrt(2q1+16) = q1+16
25*(2q1+16) = (q1+16)^2
50q1+400 = q1^2 + 32q1 + 256
q1^2 - 18q1 - 144 = 0
q1 = 9 ± sqrt(81+144)
q1 = 9 ± 15
q11 = 9+15 = 24 ---- falsche Lösung
q12 = 9-15 = -6

t1(x) = 1/sqrt(2*(-6)+16)*x + 5 = 1/2*x + 5

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