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Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 15:06:07    Titel: induktion

Hallöchen! zusammen!!

Ich übe gerade vollständige Induktion!!

Und bei einer komme ich irgendwann nicht weiter. Bin auch nicht 100% sicher ob der Ansatz richtig ist!

Also: n! <= ((n+1)/2)^n (ich nenne die rechte Seite mal "a")

Also der Induktionsanfang ist klar!

Induktionsschritt:

(n+1)!<=((n+2)/2)^(n+1)

Das habe ich dann versucht ein bisschen aufzulösen:

(n+1)! ist ja das gleiche wie (n+1)*n!

Dann habe ich auf beiden Seiten durch (n+1) geteilt:

also erhalte ich:

n!<= ((n+2)/2)^(n+1) / (n+1)

das habe ich dann rechts ein bisschen zusammengefasst und dann erhalte ich:

n!<= ((n+2)^(n+1))/((2^n)*(2*n+2)


(Ich bezeichne mal die rechte Seite als "b")

Ich weiß ja das n! kleiner gleich ist als a. Wenn ich jetzt zeige dass a immer kleiner gleich b ist, dann ist ja n! auch immer kleiner gleich b.

Also: a<=b

Das wollte ich jetzt so lange auflösen (mit Äquivalenzpfeilen) bis ich was erhalte was wahr ist!

Ich habe aufgelöst bis:

(n+2)^(n+1)>=(2^n)*(n+1)^(n+1)

Und jetzt komme ich nicht mehr weiter!!

Hoffe ihr könnt nachvollziehen was ich geschrieben habe!!
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 15:40:55    Titel:

Hallo !

Ich glaube, Du "klebst" ein wenig zu sehr an der Ungleichung und beschreibst die Induktion nicht so klar.

Ausgangsform (A): n! <= ((n+1)/2)^n

Anfangswert n=1 : 1 <= (2/2)^1 = 1 o.k.
Induktion (B) mit n->n+1 : (n+1)! <= ((n+2)/2)^(n+1)

Die Frage ist nun, wie man von (A) zu (B) kommt.
Multiplizieren wir links und rechts mit n+1, so haben wir (A) linksseitig so wie (B): (n+1)! <= (n+1)*((n+1)/2)^n

Wenn nun die neue rechte Seite von (A) <= rechte Seite von (B), dann wäre die Induktion gelungen:
(n+1)*((n+1)/2)^n <= ((n+2)/2)^(n+1)
Da n+1=2*((n+1)/2), haben wir (n+1)*((n+1)/2)^n = 2*(((n+1)/2)^(n+1)) und somit 2*((n+1)/2)^(n+1) <= ((n+2)/2)^(n+1) .

Teilt man beide Seiten durch ((n+1)/2)^(n+1), so erhält man 2 <= ((n+2)/(n+1))^(n+1) .
Da (n+2)/(n+1) = 1+1/(n+1), haben wir 2 <= (1+1/(n+1))^(n+1) .

Da für n>=1 die Ungleichung 2,25 < (1+1/(n+1))^(n+1) < e (Eulerkonstante 2,71828...) gilt, ist die Gültigkeit der Induktion für alle n gezeigt.
Estrahita
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 16:17:23    Titel:

Super!!Dankeschön!

Hab was länger gebraucht bis ich deine Rechenschritte verstanden habe Very Happy

Naja...wäre aber selber nicht draufgekommen!

Bei Ungleichungen habe ich noch kein Auge dafür wie ich das beweisen soll Sad

Geht man denn immer so ähnlich vor?!!

Gruß

estrahita
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 18:28:25    Titel:

Zumindest kannst Du auf diese Weise im Prinzip die Mehrzahl der gestellten Aufgaben sicher lösen. Viel Glück und Erfolg damit !
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