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Aufgabe zu Komplexe Zahlen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Aufgabe zu Komplexe Zahlen
 
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Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
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BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 20:29:23    Titel: Aufgabe zu Komplexe Zahlen

Hallo!

Ich bereite mich gerade aufs Mathe Studium vor und gehe derzeit Aufgaben zu den komplexen Zahlen durch. Bei einer komm ich einfach nicht weiter. Vielleicht kann hier mir ja jemand weiter helfen.

-> "Geben Sie die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung an!"
x^2 + (1+i)x - 2(1-i) = 0

Mein Problem dabei sind die Summen mit den i.

Ich habe die abc-Formel benutzt (und auch p/q und quad-ergänz...) aber ich bleibe immer an der gleichen Stelle hängen:

D = (1+i)^2 + 8(1-i)
= 1 + 2i - 1 + 8 - 8i
= 8 - 6i

Dann müsste ja x = 0,5 ( -(1+i) +/- (8-6i)^0,5 )
sein. Das Problem ist nur die Wurzel. Kann man hier irgendwas machen um die Wurzel vernünftig weg zu bekommen oder hab ich schon einen Fehler gemacht?

Die richtige Lösung ist mir bekannt (x=-2 oder x=1-i), daher zweifel ich an meiner Lösung. Leider steht in diesem Buch immer nur die Lösung und nur selten ansatzweise der Weg dort hin.

(Quelle:Mathematik-Vorkurs von W. Schäfer, K. Georgi, G. Trippler, 5. Auflage, Seite 77 Nr 4.5 a, Lösung S. 402)


Vielen Dank schon mal für jeden Tip! Smile

Grüße


Zuletzt bearbeitet von Turis am 27 Dez 2005 - 20:32:03, insgesamt einmal bearbeitet
Simonomis
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Anmeldungsdatum: 09.10.2005
Beiträge: 142
Wohnort: Norddeutschland

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 20:31:32    Titel:

Kommt mir sehr bekannt vor. An welcher UNI studierst du?
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 20:43:08    Titel:

die komplexen zahlen bilden einen algebraisch abgeschlossenen körper, das heisst u.a. dass die wurzel einer komplexen zahl wieder eine komplexe zahl ist.
deshalb kannst du mit dem ansatz
(8-6i)^0,5 = a+bi
a und b bestimmen.

das sollte dir weiterhelfen Smile
Simonomis
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Anmeldungsdatum: 09.10.2005
Beiträge: 142
Wohnort: Norddeutschland

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 20:48:55    Titel:

Wende den Satz von Moivre für den Wurzelterm an.

Dann kannst du auch das +/- gegen ein + ersetzen.
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 22:04:31    Titel:

@Simonomis: Ich studiere noch nicht sondern bereite mich nur darauf vor. Habe aber vor mich an der Uni Essen für Mathe auf Lehramt einzuschreiben.

@Yushor: Hm, mal sehn ob ich das richtig verstehe.
Also (8-6i)^0,5 = a+bi
<=> 8-6i = (a+bi)^2
<=> 8-6i = a^2 + 2abi - b

...also 2abi = -6i und a^2-b = 8
ab = -3 und a^2-b = 8
b = -3/a und a^2+3/a = 8 (=>a^3-8a+3=0)
also a =-3 und b=1

also (8-6i)^0,5 = -3+i

ich setze mal in meine alte Lösung ein:
x = 0,5(-1-i +/- (-3+i))
also x = -2 oder x = 1 - i

Huch, das stimmt ja Shocked

Muss man das denn immer so, naja, recht umständlich machen? Gibt es einen einfacheren Weg um komplexe Zahlen zu radizieren?


Nochmal danke! Very Happy
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 22:30:12    Titel:

-b^2 muss es oben heissen, und eine gleichung zu quadrieren ist keine äquivalenzumformung. ansonsten hast du verstanden wie es geht Smile

wie oben schon gesagt wurde, gibt es noch die gleichung/satz von moivre, einfach mal nach googlen. ich find das aber nicht unbedingt transparenter.
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
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BeitragVerfasst am: 27 Dez 2005 - 22:54:55    Titel:

lol, trotz gravierendem fehler das richtige raus. hatte ich mal inner test-klausur an ner uni, hab zwar grad irgendeinen verrückten weg benutzt den's gar nicht gibt aber trotzdem das richtige raus gehabt. das ist dann trick 17 mit prof-überlistung Laughing (oke, gab 3 punkte abzug wegen "geraten" Mad )

wegen dem äquivalenzzeichen: das wäre dann einfach implikativ, oder?
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 00:47:21    Titel:

ich hoffe ich darf nochmal mit komplexen zahlen nerven... Embarassed

die methode die ihr mir gezeigt habt habe ich versucht bei der nächsten aufgabe wieder anzuwenden, jedoch kommt jetzt nur noch murks raus. habs ein paar mal durchgerechnet, aber irgendwie glaube ich, ich denke zu kompliziert.

werft doch bitte mal einen kurzen blick hier drauf:

x^2 - 0,5(2^0,5)xi + 1 = 0 [Editiert, da das i fehlte!]

D=1/4*2*(-1) - 4 = -9/2
also 9/2 * i^2

Um daraus die Wurzel ziehen zu können muss ich (glaube ich) euer Verfahren 2 mal anwenden.
=> (0+(9/2)i^2)^0,5 = a+bi

also 2abi = (9/2)i^2 und a=b
=> 2a^2=(9/2)i
<=> a^2 = (9/4)i
Da wir ja immernoch nen imaginären Teil drin haben das ganze also nochmal...

(9/4)i = c+di
also
2cdi = 9/4i und c=d
=> c^2=9/8
=> c=+/- (9/8 )^0,5 /// Ich weiß dass ich noch aus 9 ziehen kann aber is hier so doof zu tippen.

Jetzt müsste eigentlich c = a gelten.

Und da a=b gilt müsste die Wurzel aus 9/2*i^2 folgendes sein:
(+/- (9/8 )^0,5 +/- ((9/8 )^0,5)i )*2

mal 2 weil ja a = b.

Wenn ich das dann als Wurzel aus D behandel kommt für
x = 0,5*(2^0,5)*i +/- (+/- (9/8 )^0,5 +/- ((9/8 )^0,5)i )*2

Allein schon so ein +/- Krams is viel zu kompliziert und aufwendig im Gegensatz zu den ganzen anderen Aufgaben die ich vorher gemacht habe.
Ich hab hier zwar noch nicht aufgegeben aber wenn man überall von + ausgeht dann kommt da 6/(2*8^0,5) + (0,5*8^0,5)*i raus und das ist nicht richtig.

Richtige Lösung ist: (2^0,5)*i und -0,5(2^0,5)i


Sorry wenn das alles etwas wuselig ist, ich hoffe ihr könnt das trotzdem entziffern Embarassed

Vielen, vielen Dank schon mal für jeden Tip!


Zuletzt bearbeitet von Turis am 28 Dez 2005 - 15:01:07, insgesamt einmal bearbeitet
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 09:50:04    Titel:

Also wenn ich das richtig sehe...

x² - (1/2)*Wurzel(2)*x + 1 = 0
2x² - Wurzel(2)*x + 2 = 0

Jetzt die Mitternachtsformel:


a = 2, b = -Wurzel(2), c = 2
x1/2 = (1/4) * Wurzel(2) ± (1/4) * Wurzel[ (Wurzel(2))² - 4 * 2 * 2]
x1/2 = (1/4) * Wurzel(2) ± (1/4) * Wurzel[ 2 - 16 ]
x1/2 = (1/4) * Wurzel(2) ± (1/4) * Wurzel[ -14 ]
x1/2 = (1/4) * Wurzel(2) ± (i/4) * Wurzel[ 14 ]

Und schon fertig, da man hier nichts mehr vereinfachen kann !!!
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 14:59:48    Titel:

ach verdammt, sorry! ich habe eine i vergessen in der aufgabe. Sorry !!!

Die lautet:

x^2 - 0,5*Wurzel(2)*i*x +1 = 0

Embarassed

Habe aber in der Rechnung das beachtet.
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