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Kurvenlänge der Sinusfunktion
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fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 18:06:46    Titel: Kurvenlänge der Sinusfunktion

Hallo,

Ich habe gerade versucht, die Kurvenlänge der Sinusfunktion zu berechnen, und bin zu folgendem Integral gekommen:

s=int(sqrt(1+cos(x)^2))dx

Nach mehreren Erfolglosen versuchen, das zu berechnen, bin ich im Internet darauf gestossen, dass es keine Stammfunktion dazu gibt.

Heisst das, dass es tatsächlich nicht möglich ist, die Kurvenlänge der Sinusfunktion von z.B. 0 bis pi exakt zu berechnen?

Ich habe das ganze umgeformt und in eine unendliche Summe verwandelt und bin schliesslich zu dieser Näherung gekommen:
(Kurvenlänge von sin(x) zwischen 1 und pi):
s=pi*1.21600651632.

Wie löst man das aber exakt?

Gruss, Marko
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 20:38:29    Titel:

Exakt kannst Du so gut, wie gar nichts berechnen, was mit irrationalen Zahlen zu tun hat. Wenn keine Stammfunktion existiert, dann wird eine algebraische Lösung wohl mit dieser Methode nicht möglich sein.

Beachte aber, dass algebraisch alles, was über lQ nach oben hinausgeht, sowieso nicht exakt geht. Sogar eine algebraische Lösung ist eigentlich ein Betrug.
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 21:09:20    Titel:

Naja, ich bin schon der Meinung, dass man alles exakt darstellen kann, auch wenns irrational ist. Und wenns mit dieser Methode nicht geht, dann vielleicht mit einer Anderen?

Oder heisst das, dass man bei Funktionen, die keine Stammfunktion besitzen, die Fläche, die sie mit der X-Achse einspannt, tatsächlich nicht exakt darstellen kann? Kaum zu glauben...

Gruss
Dittsche123
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Anmeldungsdatum: 25.12.2005
Beiträge: 80

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 21:11:56    Titel:

also ich glaub, du solltest algebrafreak vertrauen, er weiß wovon er redet.
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 21:30:58    Titel:

fas hat folgendes geschrieben:
Naja, ich bin schon der Meinung, dass man alles exakt darstellen kann, auch wenns irrational ist. Und wenns mit dieser Methode nicht geht, dann vielleicht mit einer Anderen?


e^(-1/2 x²)

Davon eine Stammfunktion bitte
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 21:36:09    Titel:

Moment mal, ich habe nicht gesagt, dass ich nicht glaube, dass man zu gewissen Funktionen eine Stammfunktion machen kann, dessen bin ich mir wohl bewusst.
Und dass Algebrafreak ein Algebrafreak ist, weiss ich auch.

Deswegen habe ich eher eine Formulierung erwartet, wieso man gewisse Flächen nicht exakt darstellen kann anstatt so etwas.

Gruss
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2005 - 22:35:16    Titel:

fas hat folgendes geschrieben:
dass man zu gewissen Funktionen eine Stammfunktion machen kann


Die Betonung könnte auf noch nicht liegen. Vieleicht kann man ja in Zukunft eine Stammfunktion anbieten, welche man kompakt hinschreiben kann. Wer weiss?[/b]
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2005 - 01:37:27    Titel:

Ja, wer weiss Wink Hab mich nur gewundert, dass man tatsächlich keine Formel hat für die länge des Sinusbogens und die, so wie's aussieht, gar nicht machen kann (ohne Summenzeichen natürlich Wink).
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2005 - 02:26:29    Titel:

Den Ausdruck hast du doch bereits gefunden, nämlich

s = S sqrt(1 + cos²(x) dx.

Das man das Integral mangels bekannter Stammfunktion nicht berechnen kann, steht auf einem anderen Blatt.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2005 - 18:13:03    Titel:

Zitat:
Den Ausdruck hast du doch bereits gefunden


Genau. Die Begründung, warum man nicht jede Fläche als eine Formel darstellen kann ist eines meiner Lieblinge. Wie viele "Flächenzahlen" gibt es? Naja. Über lR zumindest überabzählbar viele. Und wie viele Formeln gibt es? Naja. Über der gewöhnlichen mathematischen Sprache nur abzählbar viele, weil jede Formel durch einen endlichen Text dargestellt sein muss. Und was lernt man daraus? Dass es mehr "Flächenzahlen" gibt als Formeln, die diese darstellen können. Daher kann man auch nicht erwarten, dass man für jede Fläche eine kompakte algebraische Repräsentation im Sinne einer Zahl oder Formel angeben kann. Also ist der Begriff "Formel" eigentlich ein sehr schwacher.

Und die vermeintliche algebraische Darstellung einer Fläche durch etwa Stammfunktionen mit Funktionen, wie sin usw. ist eigentlich ein Betrug, weil man zur Auswertung ein numerisches Verfahren benutzen muss. Daher ist eine Antwort sqrt(2) nicht viel besser, als "da irgendwo zwischen 1 und 2", wenn man eine Genauigkeit von 0.5 erwartet.
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