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Entfernung von einem Punkt zu einem Teil einer Geraden
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Cyjackz
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Anmeldungsdatum: 31.12.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 31 Dez 2005 - 02:48:04    Titel: Entfernung von einem Punkt zu einem Teil einer Geraden

Hallo,

ich habe ein Problem und hoffe jemand von euch kann mir helfen:

In einem 2D-Koordinatensystem habe ich eine Gerade zwischen Punkt P und Punkt X.
Nun möchte ich wissen, wie weit Punkt Q von dieser Gerade entfernt ist, jedoch nur von den Teil der Gerade zwischen P und X.

Mit d = (|(q-p) x (x-p)|) / |(x-p)| habe ich schon die Enfernung zur Geraden, auf der P und X liegen. Nun weiss ich jedoch nicht, wie ich das für das Teilstück NUR ZWISCHEN P und X herausbekommen kann...

Vielen Dank im Voraus!

Cyjackz
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 31 Dez 2005 - 18:45:40    Titel:

Wenn Du die Entfernung eindeutig haben willst, kommst Du nicht drumherum die Länge des Lotes auf die Gerade zu rechnen. Und dieser ist nicht von deinem Stück abhängig. Ich nehme daher an, Du willst deine Entfernung wie folgt festlegen

L(G,x) = inf{ |x-y| | y in G }.

Falls bei dieser Definition der Punkt mit der kleinsten Entfernung (falls er existiert) in G liegt, so ist die Entfernung wie üblich die Länge des Lotes. Ist dies nicht der Fall, so ist die Entfernung aufgrund der Dreiecksungleichung die zu einem der Randpunkte. Sei zum Beweis ein Punkt y in G gegeben mit

|y-x| < min{|x-P|,|x-Q|}.

Dann gilt |y-x| < |x - P| oder |y-x| < |x-Q|. Sei o.B.d.A. |y-x| < |x-P|. Dann gilt

|y+P-P+x| = |y - P + x - P| <= |y-P| + |x-P| < |x-P|

und somit |y-P| < 0, was offenbar ein Widerspruch ist. Somit ist für deine Formel das Minimum aus den beiden Randpunkten zu bilden

L(G,x) = min{|x-P|,|x-Q|},

falls das Lot nicht auf die Gerade fällt und die Lotentfernung sonst. Beachte: Das gilt nicht, wenn Du die Randpunkte nicht zur Geraden zählst.
Cyjackz
Newbie
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Anmeldungsdatum: 31.12.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2006 - 09:54:34    Titel:

Vielen Dank für die Antwort!
Habs hinbekommen!
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