Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

lineare Algebra
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> lineare Algebra
 
Autor Nachricht
Mia2
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 10:57:45    Titel: lineare Algebra

Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

Es sei A Element K (hoch m,n), b Element K (hoch m) und x = (x1,...xn). Es gelte rg(A) = m. Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem Ax = b stets lösbar ist.

Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?
xaggi
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 12:18:19    Titel:

Okay, ein Tipp: Wenn A invertierbar ist gilt Ax = b <=> x = A^-1 b
Mia2
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 12:45:05    Titel:

damit kann ich nicht so viel anfangen Sad
Jockelx
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 12:46:36    Titel:

Hi,

wenn ich das jetzt richtig sehe, dann hat der Tip wenig mit der Aufgabe
zu tun, oder? (Falls ich falsch liege, bitte ich um Aufklärung)

@Mia:
Einen Tip kann man da schlecht geben, da das ja offensichtlich ist.
Probleme hast du wohl beim formulieren.
Z.B. könntest du sagen, dass es m l.u. Spaltenvektoren gibt, die
also den K^m aufspannen und somit jedes b aus K^m als lin. Komb.
(aus diesen Vektoren) darstellbar ist.

Jockel
Mia2
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 12:56:53    Titel:

vielen dank Jockel,
so ganz offensichtlich ist die Aufgabe ehrlich gesagt nicht für mich, warum sieht man sofort, dass dieses GS stets lösbar ist?
Gauss
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 13:02:57    Titel:

Du musst die Matrix als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen auffassen.

Ist m<n, so ist das GlS lösbar, aber nicht eindeutig, da rg(A)=rg(A,b) und rg(A)<n.

Ist m=n ist das Gls eindeutig lösbar, da rg(A)=m.

Ist m>n kann nicht rg(A)=m sein.
Jockelx
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 13:06:39    Titel:

Ja, sorry, 'offensichtlich' ist ein doofes Wort.
Ich weiss ja nicht, wie weit ihr seit, aber irgendwann kommt man
dahin, das man am Rang der Matrix Injektivität/Surjektivität feststellt.

Also hier sieht man sofort, dass die Abb. surjektiv ist, wegen dem
Rang = m. Eigentlich ist die Aufgabe damit erledigt, aber
diesen Satz werdet ihr wohl noch nicht gehabt haben, da die
Aufgabe sonst etwas arm wäre.

Jockel
xaggi
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 13:10:19    Titel:

Ach, ihr seid ja langweilig. Da fragt jemand nach einem Tipp und ihr rechnet gleich die ganze Aufgabe vor ;-). Aber von mir aus.

Sei A eine mxn-Matrix, rg(A)=m (d.h. A habe vollen Rang, da insbes. m<=n). Dann ist A invertierbar (falls ihr das noch nicht hatten, google nach einem Beweis oder nimm ein Lin.Algebra-Buch deiner Wahl). D.h. es gibt A^-1 mit x = A^-1 b. Dieses x ist dann Lösung des LGS. Fertig.
Jockelx
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 13:17:55    Titel:

Hi xaggi,

du kannst dir sicher sein, dass ich fast nie Lösungen gebe.
Hier war es eine Ausnahme, da dein Tip falsch ist.
A muss ja überhaupt nicht invertierbar sein und ist es
auch nur für m=n Matrizen.

Jockel
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> lineare Algebra
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum