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gebrochen rationale Funktionen
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klein Madi
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Anmeldungsdatum: 02.01.2006
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 23:52:24    Titel: gebrochen rationale Funktionen

Hallo,ich brauch ganz dringend Hilfe bei dieser Aufgabe:
f t (x) = x²-x+t / x-t , Graph für t = -1

Ich soll eine Kurvendiskussion durchführen (Asymptote, Restterm, Definitionslücken, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Graph) und die
Ortslinie der Extrema bestimmen1
Es ist total wichtig und es wäre echt total lieb, wenn mir jemand bis morgen eine Antwort schicken könnte!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(Bin nämlich eine TOTALE Matheniete!) Crying or Very sad
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2006 - 02:45:50    Titel:

Hi!
Also erstmal rate ich dir das, was ich dir hier vorrechne auf jeden Fall selbst nochmal nachzurechnen, denn in der Klausur musst du es auch alleine schaffen...
(Natürlich sind alle Angaben wie immer ohne Gewähr! Wink Bin ja auch nurn Mensch)


f t (x) = x²-x+t / x-t , Graph für t = -1

x =! t (da sonst Null im Nenner)


Nullstellen:

Da ein Bruch Null ist wenn sein Zähler Null ist (Nenner darf ja auch nicht Null werden) müssen wir nur diesen gleich Null setzen.

x^2 - x + t = 0 (quadratischer term, also ABC-Formel oder p/q, je nach Geschmack)

[ D = 1 - 4t , somit nur Nullstellen vorhanden wenn
1-4t >= 0
bzw t <= 1/4 ]

<=> x = 0,5 (1 + Wurzel(1-4t))
oder x = 0,5 (1 - Wurzel(1-4t))

Ist t > 1/4 so sind keine Nullstellen im reelen Bereich vorhanden.

-----------------------------

Ableitungen:

ft(x) = x²-x+t / x-t

Hier liegt lediglich ein Bruch vor, also nur Quotientenregel anwenden
=> (g(x) / h(x))' = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))²

ft'(x) = (2x-1)*(x-t) - (x²-x+t)*1 / (x-t)²
= (2x²-x-2tx+t-x²+x-t) / (x-t)²
= (x²-2tx) / (x-t)²

ft''(x) = (2x-2t)(x-t)²-(x²-2tx)2(x-t) / (x-t)^4
= 2(x-t)³-2x(x-t)² / (x-t)^4
= 2(x-t)-2x / (x-t)²
= 2x -2t - 2x / (x-t)²
= -2t / (x-t)²

ft'''(x) = 0*(x-t)²+4t(x-t) / (x-t)^4
= 4t / (x-t)³

-------------------------------

Extrema:
ft'(x) = 0
x²-2tx = 0
x-2t = 0 oder x = 0
x = 2t oder x = 0 (beide im Definitionsbereich? ja!)

ft'(x) = 0 und ft''(x) =! 0

ft''(2t) = -2t/t² = -2/t
Wenn t = 0 => keine Extrema
Wenn t > 0 => Hochpunkt ((-2/t | 4/t²+2/t+t) / -2/t-t ) (hier noch Zusammenfassen nötig)
Wenn t < 0 = Tiefpunkt ( (-2/t | 4/t²+2/t+t) / -2/t-t ) (hier noch Zusammenfassen nötig)


ft''(0) = -2t / t² = -2/t
Alles wie bei ft''(2t).

Machen wir auch direkt die Ortslinie:

x = -2/t <=> t = -2/x
Einsetzen:
y = (4/4/x² + 2/-2/x - 2/x) / -2/-2/x + 2/x
= (x² - x - 2/x) / (x+2/x)
ist die Ortslinie der Extrema.

------

Nun die Wendepunkte:

ft''(x) = 0
-2t = 0
t = 0

Also kann es nur Wendepunkte geben wenn t=0.
Da aber wenn t=0 die dritte Ableitung automatisch auch 0 ist, kann es keine Wendepunkte geben, denn ft'''(x) muss ja ungleich Null sein.

Somit kann man auch keine Ortslinie der Wendepunkte berechnen.

--------------------------

Zu Asymptoten bzw Grenzwerten:
Das einzige was uns wirklich unbekannt ist, ist wenn x = t, also der Nenner der Funktion wird Null.

Wahrscheinlich gibt es schönere oder schnellere Verfahren, mir fällt jedoch im Moment nur der Weg über die Grenzwerte ein.

lim(x->t)(x<t)von(x²-x+t / x-t ) = + / -"0" = - unendlich
lim(x->t)(x>t)von(x²-x+t / x-t ) = + / +"0" = + unendlich

Also liegt eine senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel bei x=t vor.

---------

Was mit Restterm gemeint ist weiß ich leider gerade nicht.
Falls damit ne Polynomdivision Zähler durch Nenner gemeint ist, so mach ich das mal flott:


x²-x+t : x-t = x-1+t + (2t+t²)/x-t
[Nebenrechnung:
x²-tx
-x+t+tx
-x-t
tx+2t
tx-t²
2t+t²]


Den Graph kann ich leider net hier zeichnen, aber du musst ja auch nur überall t=-1 einsetzen und dann zeichnen...


Hoffe ein wenig geholfen zu haben und nicht den größten Mist verzapft zu haben Wink

Grüße
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