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Funktionen- Wertebreich, Definitionsbereich
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Sarinha
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Anmeldungsdatum: 18.11.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2006 - 19:03:06    Titel: Funktionen- Wertebreich, Definitionsbereich

hi,
sitze gerade über meinen hausaufgaben und kann mich dank der ferien an nichts mehr erinnern!

kann mir vielleicht jemand erklären wie ich den werte-/ definitionsbereich bei den folgenden funktionen bestimme???
a)y= x-1 / x^2+x-2
--> bei dieser gebr.-rat. funktion ist der def.bereich doch D=R\{-1,-2}
aber wie komme ich auf den wertebereich?

b) y=wurzel (1-|x|)
--> hier weiss ich ünberhaupt nicht wie ich vorgehen muss

c) y= ln(x^2+3x+2)
--> ist hier der def.bereich einfach D=(-2,-1) ???
doch was ist mit dem wertebereich?
Animus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2006
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2006 - 21:34:07    Titel:

a) D=R\{+1,-2}

b) D=R

Man darf ja keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen und da Betragsstriche gesetzt sind, können keine negativen Zahlen unter der Wurzel entstehen. Du kannst also alle Zahlen einsetzen. Sogar Null.

c) D=R\{-2;-1}

Bei -2 und -1 ist die Funktion nicht definiert. Du kannst das also nicht als Definitionsbereich angeben...Sollte also schon so aussehen wie bei a) Wink
Sarinha
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Anmeldungsdatum: 18.11.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2006 - 21:52:57    Titel:

vielen dank!!!

aber was ist mit dem wertebereich? wie komme ich auf den?
wild_and_cool
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2006 - 01:47:36    Titel:

Also der Definitionsbereich bestimmt sch immer daraus indem man schaut wo mathematisch etwas nicht korrektes passiert...

Beim Bruch arf man nicht durch Null teilen...
Bei der Wurzel und dem ln darf nichts negatives im Argument stehen...

Daraus berechnet man jetzt die Definionslücken, bzw die Bereiche wo die Funktion bestimmt ist...

Dann schaut man welche Werte minimal angenommen werden in diesem Bereich und welche maximal...
das ergibt dann den Wertebereich...

Beispiel 1:

y= (x-1) / (x^2+x-2)

Machen wir mit dem Nenner eine Nullstellenbestimmung...
Mitternachtsformel oder pq-Formel ergibt
x1 = 1
x2 = -2

Damit kann man jetzt die Gleichung auch so schreiben:
y= (x-1) / ((x-1)(x+2))

Hier erkennt man jetzt, das man (x-1) wohl kürzen kann, es sich dabei um eine hebbare Definitionslücke handelt...

Die Funktion wäre dann y = 1/(x+2)

Damit ist der Definitionsbereich D=IR\{1,-2} wenn man die Stelle nicht ergänzt...

Schauen wir uns die Werte der Funktion an...
x = -2 ist Definitionslücke, also senkrechte Asymptote mit Polstelle mit Vorzeichenwechsel
Das bedeutet die Funktion geht gegen minus unendlich für x gegen -2 von links...
Und die Funktion geht gegen plus unendlich für x gegen -2 von rechts...

Und man erkennt, das die Funktion für x gegen +-unendlich gegen null geht...

Damit bekommen wir als Wertebereich W=IR\{0,1/3}

Beispiel 2:

y=wurzel (1-|x|)

Das Argument unter der Wurzel darf nicht negativ werden, also betrachten wir die beiden Fälle:
1. (1-x) für positive x
1-x = 0 --> x = 1
2. (1+x) für negative x
1+x = 0 --> x = -1
Damit bekommen wir den Definitionsbereich D=[-1;1]

Jetzt schauen wir uns die Werte an die die Funktion annehmen kann...

Wenn wir die -1 und die 1 einsetzen bekommen wir die Null...

Für alles dazwischen bekommen wir Brüche, als kleiner 1 und für x = 0 bekommen wir die 1...

Damit haben wir den Wertebereich W=[0;1]...

Beispiel 3:

y= ln(x^2+3x+2)

Betrachten wir wieder Nullstellen des Arguments:
Mitternachtsformel oder pq-Formel liefert:
x1 = -1
x2 = -2

Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt
muss alles zwischen -1 und -2 negativ sein...
Der ln darf kein negatives Argument haben, ebensowenig die Null...
Daher bekommen wir den Definitionsbereich D=(-oo;-1) und D=(-2;+oo)

Der Wertebereich der ln-Funktion geht von minus unendlich bis plus unendlich...
Also W=IR
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