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An die Theoretiker...
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LucyDiamond
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Anmeldungsdatum: 10.01.2006
Beiträge: 2022

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2006 - 07:19:40    Titel: An die Theoretiker...

Hallo zusammen,

ich hoffe Ihr könnt mir bei folgender (zweiteiliger) Aufgabe helfen :

1. Bestätigen Sie, dass die N-dimensionale Einheitskugel "fast nur aus Oberfläche" besteht.

2. Sehen Sie Beziehungen zu kanonischem und mikrokanonischen Ensembles ?


Bei 1. fehlt mir ein Ansatz, und zu 2. fällt mir überhaupt nichts ein... wenn ich mich richtig erinnere, ist ein kanonisches/mikrokanonisches Ensemble ein abgeschlossenes/geschlossenes System, aber ich habe überhaupt kein Ahnung, was das mit der Einheitskugel zu tun habem könnte.

Vielen Dank schonmal an alle, die sich für mich den Kopf zerbrechen Smile
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2006 - 13:07:45    Titel:

Aufgabe 1 finde ich schon mal komisch formuliert; ich würde mal vermuten, dass die auf irgendwas wie

lim(N to inf) V(N)/A(N) = 0

hinauswollen, wobei V das Volumen und A die Oberfläche ist. Ob das überhaupt so stimmt, das weiß ich nicht, ich interpretiere einfach den Aufgabentext so.
Die Oberfläche einer N-dimensionalen Kugel kann ich dir sagen, weil man die in der QFT bei dimensionaler Regularisierung braucht; sie lautet

A(N) = 2*pi^(N/2) /Gamma(N/2)

hängt also von der Gammafunktion ab. Wie die Formel für das Volumen lautet weiß ich nicht, man findet es aber in Lehrbüchern zur Statistischen Mechanik. Damit wären wir auch bei Frage 2, denn diese Ausdrücke kommen bei Rechnungen im mikrokanonischen Ensemble vor; dass die auch im kanonischen Ensemble auftreten, wüsste ich nicht.
LucyDiamond
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Anmeldungsdatum: 10.01.2006
Beiträge: 2022

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2006 - 15:34:29    Titel:

Zu der ersten Aufgabe haben wir heute noch folgenden Tip bekommen :

"Rechnen Sie dazu den durchschnittlichen Abstand eines beliebigen Punktes der Einheitskugel zur Oberfläche aus".

Das hilft mir aber leider immer noch nicht weiter, weil ich nicht weiss wie ich das machen soll...


Wegen der Formel für die Oberfläche - sollte dann für drei Dimensionen nicht 4 pi herauskommen ? Für Gamma hab ich folgende Formel : Gamma(n+ 1/2) = (n - 1/2) * (n - 3/2) ... (3/2 * Gamma (1/2)) , wobei Gamma (1/2) = Wurzel(pi) ist.
Wenn ich jetzt n = 1 und N = 3 setze, ergibt sich für die Gammafunktion ein Wert von - 3/8 * wurzel(pi)... Damit ist die Oberfläche negativ Shocked

Grüsse von der ratlosen Lucy
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2006 - 23:29:51    Titel:

2pi^(3/2) /Gamma(3/2) = 2pi Sqrt(pi) / 1/2 Sqrt (Pi) = 4pi.

Passt doch. Wink Gamma (n + 1) = n*Gamma(n) lautet die Formel, wobei n = 1/2 in unserem Fall. Da ging bei dir was durcheinander.

Den Abstand für eine N-dimensionale Kugel auszurechnen halte ich auch nicht gerade für einfach-rauskommen soll dann wohl, dass er gegen Null geht. Man kann die Kugel natürlich in ein N-dimensionales Koordinatensystem packen mit dem Mittelpunkt im Urpsrung und dann die Punkte der Oberfläche geeignet parametrisieren. Damit könnte man den Abstand einen beliebigen Punktes angeben und müsste dann über alle diese Abstände mitteln, d.h. irgendwie ein Integral ausrechnen. Muss man aber sicher geschickt machen, um das ohne großen Aufwand ausrechnen zu können und so spontan fällt mir da nicht viel zu ein. Sad
LucyDiamond
Gesperrter User
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Anmeldungsdatum: 10.01.2006
Beiträge: 2022

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2006 - 00:38:05    Titel:

Physikus hat folgendes geschrieben:

Passt doch. Wink Gamma (n + 1) = n*Gamma(n) lautet die Formel, wobei n = 1/2 in unserem Fall. Da ging bei dir was durcheinander.


Öhm ja. Hab wohl etwas zu hektisch gerechnet Rolling Eyes

Ich hab im Netz gerade Rekursionsformeln für Volumen und Oberfläche von n-dimensionalen Kugeln gefunden - damit ergibt sich für V/O = 1/N für die Einheitskugeln; ansonsten R/N (R= Radius).


Im Hinblick auf die Klausur würde ich allerdings gern verstehen, wie man den mittleren Abstand aller Punkte in einer Kugel vom Ursprung ausrechnet. Oder machen wir es einfacher - wie würde das bei einem Kreis aussehen ? Ich hab mir gedacht, dass der mittlere Abstand auf jeden Fall größer sein muss als R/2, vielleicht bei 0,7 oder 0,8 (für R=1). Aber wie kommt man da drauf ??
klaush
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Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 665

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2006 - 07:51:47    Titel:

Beim Kreis ist Die Anzahl der Punkte die den Abstand r vom Ursprung haben proportional zu r (bei der Kugel proportional zu r² - also immer proiportional zur Oberfläche) - oder auch die nicht normierte Wahrscheinlichkeit das dem so ist.
Normieren und Mittelwert ausrechnen.

Das mit der n-Dimensionalen Einheitskugel würd ich Thermodynamisch mal so interpretieren: Der Impulsvektor der Teilchen bewegt sich entlang der Oberfläche dieser Einheitskugel: Der Betrag des Impulses ist ja konstant - ob das beim Rechnen was hilft sei aber mal dahingestellt - und ob's einen wichtigeren Zusammenhang gibt weis ich auch nicht. Sinn hat das ganze natürlich nur für ein mikrokanonisches Ensamble.
LucyDiamond
Gesperrter User
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Anmeldungsdatum: 10.01.2006
Beiträge: 2022

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2006 - 09:59:26    Titel:

klaush hat folgendes geschrieben:

Normieren und Mittelwert ausrechnen.


Ja genau. Sorry aber ich blicks nicht... könntest du das vielleicht in Formeln andeuten ?
LucyDiamond
Gesperrter User
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Anmeldungsdatum: 10.01.2006
Beiträge: 2022

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2006 - 10:04:59    Titel:

klaush hat folgendes geschrieben:
Der Impulsvektor der Teilchen bewegt sich entlang der Oberfläche dieser Einheitskugel: Der Betrag des Impulses ist ja konstant ..


Ich verstehe hier nicht, warum der Impuls konstant sein muss - gehorchen die Geschwindigkeiten nicht einer Verteilungsfunktion (also Maxwell oder so) ?
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