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_Michelle_
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Anmeldungsdatum: 19.01.2006
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 14:16:11    Titel: Funktionen

Hallo Foris!

Ich hoffe, ihr könnt mir bei meinem Problem weiterhelfen! Ich hab folgende Funktion gegeben:

f: R->(0,1) x -> e ^-(x+2)^2

davon soll der größtmögliche Definitionsbereich bestimmt werden, sodass f bijektiv wird. Anschließend soll die umkehrfunktion gefunden werden...

Ich wollte nun fragen, wie man am besten vorgeht um den Definitionsbereich zu finden, sodass diese dann bijektiv wird - ich steh da ziemlich auf der Leitung Crying or Very sad

würd mich über Hilfe seeeeehr freuen!

LG
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 15:26:23    Titel:

Hi Michelle,

e ist eh schon bijektiv und macht auch später keine Probleme.
Nur bei (x+2)^2 macht das quadrieren Probleme, sollte man aber
auch bijektiv kriegen, oder?

Jockel
_Michelle_
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Anmeldungsdatum: 19.01.2006
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 15:51:28    Titel:

ja, leider weiß ich aber nicht wie man da am besten vorgeht. ich versteh nicht woher ich weiß wie ich den definitionsbereich einschränken soll etc. vielleicht könnte mir das jemand kurz erklären?!
_Michelle_
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Anmeldungsdatum: 19.01.2006
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 00:23:48    Titel:

Kann mir also keiner weiterhelfen? Crying or Very sad
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 11:22:11    Titel:

Hi Michelle,

hast du denn immer noch keinen eigenen Verschlag parat?
Weisst du denn, was 'bijektiv' bedeutet und kennst du vielleicht
auch eine Vorausetzung, die bijektive Funktionen immer
mitbringen müssen?
Wie würdest du f(x)=x^2 einschränken, damit es bijektiv wird?
_Michelle_
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Anmeldungsdatum: 19.01.2006
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 11:44:58    Titel:

Also, was bijektiv bedeutet weiß ich. An dem Beispiel x^2 würde ja beispielsweise bei -2 und 2, 4 herauskommen und somit wärs dann nicht mehr bijektiv...

also, vielleicht nur die positiven Zahlen als Menge definieren?
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 17:10:45    Titel:

Genau.
Jedes Intervall [a,b] mit a,b >=0 oder a,b <= 0 würden x^2
schonmal injektiv machen (und je nach dem, was unser Zielbereich ist
auch surjektiv).

Wie schon erwähnt, mach uns für die Injektivität, die e-Funktion
keine Problem. Einzuschränken ist also erstmal nur (x+2)^2.
Monotone Funktionen sind trivialer Weise injektiv, also nehmen wir
mal die Bereiche in denen (x+2)^2 monoton ist.

Jetzt machen wir das noch bijektiv:
Der Randpunkt des Intervalls (bzw. der beiden Intervalle) ist
günstigerweise auch ein globales Maximum der Funktion der Grösse 1.
Und genauso günstig ist, dass der limes für x->oo, bzw gegen -oo gleich
0 ist.

Konkretisiere das mal, was ich da hingeschrieben habe.
Insbesondere: Mal den Graphen mal auf!

Jockel
_Michelle_
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Anmeldungsdatum: 19.01.2006
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 22:37:55    Titel:

Vielen Dank schon mal!

Das ist ziemlich viel neues für mich - also, das kann dauern bis ich mich da überall eingearbeitet habe Wink

Ich hab mal mit der Monotonie angefangen! Da muss ja zunächst mal unterschieden werden zwischen monoton fallend und monoton wachsend!?

Ich hab das so verstanden, dass ich das mit Hilfe der ersten Ableitung bestimmen kann, in welchem Intervall eine Funktion monoton fallend bzw. monoton wachsend ist.

D.h. bei (x+2)^2 wäre die erste Ableitung ja 2(x+2)
monoton wachsend wär sie meiner Meinung nach im Intervall (-2,unendlich) oder?
_Michelle_
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Anmeldungsdatum: 19.01.2006
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2006 - 23:15:05    Titel:

könnte mir bitte jemand sagen, ob das schon mal soweit stimmt?
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2006 - 09:31:42    Titel:

Hi,

ja das stimmt. In ]oo, -2] ist f fallend und in [-2, oo[ wachsend.
Als monotone Funktion ist sie dort auch injektiv und
besitzt eine Umkehrfunktion.

Jockel
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