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N und Z doch gleichmächtig?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> N und Z doch gleichmächtig?
 
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amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
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BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 18:56:44    Titel: N und Z doch gleichmächtig?

oh hilfe! ich hasse diese verwirrung!

also, eine aufgabe:

beweisen sie: die anzahl aller durch drei teilbaren, natürlichen zahlen stimmt mit der anzahl aller ganzen zahlen überein.

also ist die teilmenge {3n; n€N} von N gleichmächtig zu Z??? wie kann das gehen, wenn doch N und Z nicht gleichmächtig sind?

oder wo liegt mein denkfehler?
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 19:34:35    Titel:

wer sagt denn, dass sie nicht gleichmächtig wären?
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 19:55:38    Titel:

ach verdammt! sind sie?
ach stimmt ja. Embarassed durch die bijektion f: Z -> N mit
z l-> 2n+1 für z</=0
z l-> 2n-1 für z>0

ich entschuldige mich vielmals für diese verwirrung! Laughing

schönen abend noch!
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 20:00:42    Titel:

ach nein! stopp!

eine frage hab ich noch!

mein beweis zu der aufgabe ist die angabe der bijektion:
f: Z -> {3n; n€N}
z l-> -3z für z<o
z l-> 6z für z>0
aber was mache ich mit z=0??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 20:17:25    Titel:

Für z = 0 kannst Du doch auf 0 abbilden. 0 ist nämlich auch durch 3 teilbar.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 20:21:46    Titel:

aber es heißt doch "für alle durch 3 teilbaren natürlichen zahlen..."
0 ist doch keine natürliche zahl!
also kann ich darauf nicht abbilden.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 20:27:12    Titel:

Naja. Das erste der Peano Axiome sagt aus: Es gibt eine ausgezeichnete Zahl 0 in lN (http://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Zahlen). Es ist eigentlich gegen die normale Mathematik, die 0 auszuschließen und 1 mit 0 zu bezeichnen. Aber wenn Du die natürliche Zahlen in der Vorlesung definiert hast als {1,2,3,...} Dann kannst Du deine abbildung einfach um 1 nach vorne drücken. Also

0 -> 3
1 -> 6
-1 -> 9
2 -> 12
-2 -> 15

usw.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 20:30:30    Titel:

äh ok... die idee hatte ich auch nur mein problem war eben, kann ich das nicht auch formal ausdrücken? also so, wie ich es oben versucht habe?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 20:34:37    Titel:

Zitat:
kann ich das nicht auch formal ausdrücken?


Natürlich kannst Du das. Ich habe gedacht, Du brauchst nur eine Idee. Ich war nur zu faul um das hinzuschreiben Smile
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 20:39:12    Titel:

äh ja gut... und wie? Smile das war ja meine frage Very Happy Wink
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