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Nachweis einer Tangente am Schaubild
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chris70619
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Anmeldungsdatum: 15.01.2006
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 20:49:23    Titel: Nachweis einer Tangente am Schaubild

Bitte um hilfe! Sad

Weisen sie nach, dass g Tangente an Kf ist. Ermitteln Sie eine Gleichung einer zu g parallelen Geraden, die ebenfalls Tangente an Kf ist.

g: y=2x+8
f(x)=1/6x(x-Cool²

Ich stehe bei dieser Aufgabe komplett auf dem Schlauch, wäre schön wenn mir jemand helfen kann.

Danke
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 21:42:51    Titel:

was wir suchen ist ja keinen echten schnittpunkt, sondern nur ein punkt wo beide funktionen den gleichen wert annehmen und die gleiche steigung haben (tangente halt)

Durch g(x) = f(x) erhält man die Schnittpunkte (2|12) und (12|32).

jetzt müssen wir natürlich noch herausfinden welcher davon nun der richtige punkt ist.

Die Steigung von g(x) ist überall 2
(g'(x)=2)
jetzt gilt heraus zu finden, wo f(x) eine Steigung von 2 hat.

f(x)=1/6x(x-8 )²
= 1/6x(x²-16x+64)
= 1/6x³-16/6x²+64/6x
=1/6(x³-16x²+64x)

f'(x)=1/6(3x²-32x+64)

2 = 1/6(3x²-32x+64)
12 = 3x²-32x+64
3x²-32x+52 = 0

D=400

x = 26/3
oder
x = 2

Aha! Da ist ja die 2!

Damit haben wir gezeigt, dass an der Stelle 2 g(x) und f(x) einen Berührpunkt haben, denn die Steigung ist dort gleich und sie haben einen gemeinsamen Punkt.
Wäre die Steigung nicht gleich würde es ein normaler Schnittpunkt sein.


Die zweite Aufgabe:

Alle parallele Geraden zu g(x) sind ga(x)=2x+a , a=!8
denn sie dürfen sich nur im y-Achsenschnitt unterscheiden und nicht in der Steigung. Zeichne dir eine Skizze wenn es dir nicht sofort einleuchtet.

Im Grunde sind wir schon fertig, da wir ja oben noch eine zweite Stelle (x=26/3) errechnet hatten wo die Steigung 2 ist.

Setzen wir also x=26/3 in f(x) ein um den y-Wert zu erhalten:
(26/3 | 52/81) ist der Punkt.

Setzen wir also nun ein um a zu erhalten:

2*26/3 + a = 52/81
a = -16 56/81

Damit haben wir die - wenn auch nicht sehr schöne - parallele Gerade berechnet:

p(x) = 2x - 16 56/81



Habe das ganze mit nem Funktionsplotter nachgeprüft. Sollte eigentlich stimmen.

Grüße
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2006 - 21:59:54    Titel:

Hi, too late, aber trotzdem:
Weisen sie nach, dass g Tangente an Kf ist. Ermitteln Sie eine Gleichung einer zu g parallelen Geraden, die ebenfalls Tangente an Kf ist.

g: y = 2x + 8
f(x) = 1/6x * (x-8)² = 1/6x(x²-16x+64) = 1/6x³ - 16/6x² + 64/6x

Wenn g Tangente an f(x) sein soll, dann muss sie die gleiche Steigung wie f(x) besitzen:

f'(x) = 2 ==> Steigung der Geraden
f'(x) = (3/6)x² - (32/6)x + 64/6 ==> Steigung der Tangenten,
also Gleichsetzen:
2 = 0,5x² - 32/6x + 64/6 ==> 0,5x² - 32/6x + 52/6 = 0
x² - 32/3x + 52/3 = 0 ==> x = +16/3 ± sqrt[(16/3)² - 52/3) ==> x = 16/3 ± 10/3 ==> x = 6/3 = +2 und x = 26/3 = 8,66667

damit gibt es zwei Tangenten:
y = 2x + 8
y = 2x - 16,6914
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 10:15:38    Titel:

na, jetzt kann man sich zumindest sicher sein dass es stimmt. Wink
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