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Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 18:33:04    Titel: ähnliche Matrizen

ich soll in einer Aufgabe alle quadratischen Matrizen bestimmen, die ähnlich zur Einheitsmatrix sind. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 18:39:38    Titel:

Eine Matrix ist genau dann ähnlich zur Einheitsmatrix, wenn die Eigenwerte sämtlich 1 sind und der Eigenraum die volle Dimension hat.
Das kannst du über die Jordan-Zerlegung beweisen.
Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 18:43:17    Titel:

das mit der Jordan-Zerlegung hatten wir noch nicht geht das auch einfacher? Eigenwerte habe ich auch noch nie gehört.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 18:48:36    Titel:

Nur die Einheitsmatrix selbst ist zur Einheitsmatrix ähnlich, da

TIT^(-1)=I ist.
Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 18:53:42    Titel:

ok danke damit kann ich mehr anfangen. Die Formel hatten wir auch. Aber leider verstehe ich sie nicht richtig. Es heißt ja En ist ähnlich zu beispielsweise M, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt für die dann gilt:
M = S hoch -1 En S
Was ich nicht so recht verstehe: Wie kann ich mir diese Gleichung in Form von Matrizen vorstellen? Sind das auf der rechten Seite Multiplikationen?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 18:57:00    Titel:

In der Mitte steht das neutrale Element (Einheitsmatrix), also die 1.
Es gilt ja A*En=A,also

S^(-1)*En*S=S^(-1)*S=En.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 19:16:20    Titel:

Ich fasse mal zusammen:

Beweis:
Sei A eine Matrix, die ähnlich zu I ist. Dann gibt es eine invertierbare Matrix M mit

M A M^(-1) = I.

Dann gilt

M^(-1) M A M^(-1) = A M^(-1) = M^(-1) I = M^(-1).

Weiterhin gilt

A M^(-1) M = A = M^(-1) M = I.

Insgesamt gilt A = I.
Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 20:09:00    Titel:

ich habe das jetzt so versucht:

I = M-1 A M

da I = M-1 M, folgt:

I = I A


I = A

ist das richtig? kann man das so aufschreiben?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 20:11:29    Titel:

Keine der Aussagen ist falsch, aber ich würde dafür 1/4 Punkten geben. Ich habe doch geschrieben, wie es geht.
Mia2
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Anmeldungsdatum: 06.12.2005
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2006 - 20:13:49    Titel:

ich will das nicht einfach abschreiben sondern verstehen und selbst formulieren.
Vielleicht kannst du mir sagen was du daran genau kritisierst. Das würde mir helfen, denn ich will es ja lernen
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