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Parabel als Rotationskörper
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Parabel als Rotationskörper
 
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toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2006 - 00:45:08    Titel: Parabel als Rotationskörper

Ein abendliches Hallo an euch!
Ich beschäftige mich gerade sehr intensiv mit einer Aufgabe, die mir einige Probleme bereitet! Evil or Very Mad

Ich gehe davon aus, dass y² bei folgender Aufgabe kein Druckfehler ist:

y² = 4 * (6 - a) * (a - x) mit 0<a<6

Das Flächenstück, das von der Parabel und den Koordinatenachsen begrenzt wird (also nur im 1. Quadranten), rotiere um die x-Achse.
Berechen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Ich habe sie Gleichung zunächst umgestellt:
y² = -4a² + 4ax - 24x + 24a

Die -4 sagt mir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers um die x-Achse lautet:
V = Pi b/Integral/a [f(x)]² * dx

Nun wollte ich mir eine Skizze mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen.
Wie soll ich das mit 2 Unbekannten machen?

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen soll!?

1000 Dank
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2006 - 01:05:22    Titel:

Question ::::::::::::::> y² = 4 * (6 - a) * (a - x) mit 0<a<6 <::::::::: Question

du liegst leider ziemlich daneben mit deinen Vermutungen und "Ergebnissen" Sad

schlage dir folgendes vor:
Mach zuerst mal eine Skizze für einen Beispielwert für den Parameter a

etwa so: für a=2 erhältst du die Beispielparabel y² = 16*(2-x)
die hat den Scheitel auf der x-Achse (bei x=2) und öffnet sich nach links (nicht nach unten!) probiers aus.. Idea
usw.........
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2006 - 01:26:38    Titel:

hi mathefan und vielen dank für die antwort.
das sich die parabel nach links öffnet, leuchtet mir ein (in der Aufgabe steht ganz groß x-Achse Embarassed ).

Woher weißt Du, dass der Scheitelpunkt bei x = 2 liegt?

Mann, bin ich gar!
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2006 - 01:50:56    Titel:

ohhh! ich denke, ich bin ein paar schritte weiter!
wenn`s recht ist, melde ich morgen noch mal!
muß erstmal butze machen! Wink

nacht!
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2006 - 20:11:56    Titel:

Ich habe mir alles noch mal genauer angesehen und bin zu folgendem Schluß gekommen:

Die Formel für die Berechnung des Rotationsvolumens bei Drehung einer Kurve um die x-Achse lautet:

y = f(x), a < x < b

V = Pi * b/Integral/a * f²(x) * dx

Nun macht auch das y² in der Aufgabe einen Sinn.
Das ganze muß 'nur' noch eingesetzt werden, womit folgende Zeile entsteht:

V = Pi * 6/Integral/0 * (4 * (6 - a) * (a - x) * dx

Sieht das jemand genau so???

Schon mal danke für eure Zeit!

Toxic
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2006 - 20:45:34    Titel:

::::::::::> "..V = Pi * 6/Integral/0 * (4 * (6 - a) * (a - x) * dx

Sieht das jemand genau so??? ."<:::::::::::::::

****************************************** Fast genau so!**** :

Das mit den Integrationsgrenzen solltest du dir vielleicht noch genauer überlegen:
Solange der Parameter a dabei ist, hat die Parabel einen Scheitelpunkt, der von a abhängt (weisst du inzwischen warum gilt: S(a/0) ?)
Integration also von 0 bis ?

Noch ein kleiner "optischer" Tipp:
der Faktor 4*(6-a) ist ja eine Konstante bezüglich der Integration nach x.
Diesen Faktor kannst du also mit dem Pi zusammen als Faktor vor dem Integral notieren; dann wird der Integrand übersichtlich einfach...
viel Vergnügen
Smile
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2006 - 23:39:19    Titel:

Zitat:

Das mit den Integrationsgrenzen solltest du dir vielleicht noch genauer überlegen:
Solange der Parameter a dabei ist, hat die Parabel einen Scheitelpunkt, der von a abhängt (weisst du inzwischen warum gilt: S(a/0) ?)
Integration also von 0 bis ?


Hi mathefan,
was genau meinst Du mit 'genauer überlegen'?
Dass nur die Untersumme a variabel ist, also das Integral so aussehen müßte: b/Integral/a, wobei b fest ist und a zwischen 0 und 6 liegt

oder dass ich einfach nur die Ober- bzw. Untersumme falsch eingesetzt habe, da a zwischen 0 und 6 und nicht kleiner bzw. größer gleich 0 und 6 ist, also das Integral 5/Integral/1 ist???
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2006 - 01:56:14    Titel:

Könnte das Ergebnis korrekt sein:

(144*Pi) - (12x²*Pi)

??? Question
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2006 - 02:23:33    Titel:

Die Integrationsgrenzen gehen von 0 bis a (hoffentlich siehst du, warum?). Wink

Das Ergebnis (also das Volumen des jeweiligen Rotationsparaboloids) ist dann eine Funktion von a (dh. ist abhängig von a).
Diese Volumenfunktion V(a) kannst du dann weiter untersuchen - in Abhängigkeit von a (also das Verhalten von V(a) im Bereich für a zwischen 0 und 6).

Nebenbei:du vermischt verschiedene Probleme/Gebiete:
Unter- und Obersumme sind bei dieser Aufgabe gar kein Thema!
Es hat zwar mit der Exitenz des bestimmten Integrals zu tun, wenn die Grenzwerte von Unter- und Obersummen existieren und gleich sind - aber bei dieser Aufgabe ist nur der Wert des fraglichen bestimmten Integrals, dh. V(a)) gefragt, also im Prinzip zunächst nur eine Stammfunktion einer (in x) linearen Funktion und dann deren Werte in Abhängigkeit von a.

Hoffe, dass mein "Gesabber" dich weder überfordert noch demotiviert
Cool
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2006 - 10:14:43    Titel:

Um Gottes Willen!
Ich bin froh, dass mir jemand hilft!
Trotzdem verstehe ich das nicht ganz.
Ich dachte, ich wäre auf dem richtigen Weg! Crying or Very sad

Und das ist nur der erste Teil der Aufgabe.
Zusätzlich muß noch ein Berührungspunkt
mit einer Geraden errechnet werden.

Ich habe noch keine Ahnung, wie ich das
bis heute abend schaffen soll!!! Rolling Eyes
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