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Extremwertaufgabe
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FOSLER
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Anmeldungsdatum: 12.08.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2006 - 19:10:57    Titel: Extremwertaufgabe

Gegeben ist ein Trapez mit den folgenden Abmaßen:

a=6,8dm
b=4 dm
ges.: Wie muss groß muss x sein damit der maximale Flächeninhalt herausgeholt wird?

Bild vom Trapez:

gegenüberliegende Seite von a hab ich c genannt.

A=0,5(a+c)h
c=a+2x
h=sqrt(b^2-x^2)

h und c in die Gleichung eingesetzt.

A=0,5(2a+2x)*sqrt(b^2-x^2)

Bis hier ist alles klar aber ich komme nicht auf die Zielfunktion.

Wenn mir einer helfen könnte ?

Danke im Vorraus
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Anmeldungsdatum: 27.11.2005
Beiträge: 2016
Wohnort: Dortmund

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2006 - 20:28:13    Titel: Re: Extremwertaufgabe

FOSLER hat folgendes geschrieben:
Gegeben ist ein Trapez mit den folgenden Abmaßen:

a=6,8dm
b=4 dm
ges.: Wie muss groß muss x sein damit der maximale Flächeninhalt herausgeholt wird?

Bild vom Trapez:

gegenüberliegende Seite von a hab ich c genannt.

A=0,5(a+c)h
c=a+2x
h=sqrt(b^2-x^2)

h und c in die Gleichung eingesetzt.

A=0,5(2a+2x)*sqrt(b^2-x^2)

Bis hier ist alles klar aber ich komme nicht auf die Zielfunktion.

Wenn mir einer helfen könnte ?

Danke im Vorraus



Abgesehen davon dass sich 0,5(2a+2x) sicher einfacher darstellen lässt, verstehe ich dein Problem nicht.

Ich hab deine Rechnung nicht überprüft, aber du hast doch eine Funktion A(x)= (a +x)*sqrt(b^2-x^2)).

Davon bildest du die erste Ableitung und setzt diese auf Null. Dann löst du das ganze nach x auf. Das wars.

Mit freundlichen Grüßen
ein
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mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2006 - 21:05:33    Titel:

Nebenbei: es steht zwar nicht im Aufgabentext, aber es geht hier wohl um ein "gleichschenkliges" Trapez? (Siehe Bild)

A(x)= (a +x)*sqrt(b² -x²) = sqrt ( (a + x)² * (b² - x²) )

Du kannst dir bei der nun folgenden Ableitung etwas Arbeit sparen mit der Überlegung:
A(x) ist extremal, wenn der Radikand extremal ist.
Also brauchst du nur die Nullstellen der ersten Ableitung von
f(x) = (a + x)² * (b² - x²)
Verwende zum Ableiten die Produktregel (und schreibe das Ergebnis sofort als Produkt (mit einem Faktor(a + x)). Setze jetzt die geg. Zahlenwerte für a, b ein.
Eine der Nullstellen des zweiten Faktors ist dann die von dir gesuchte Lösungszahl für x.
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